Dois tipos de combustíveis estão sendo testados. A hipótese é que eles tenham o mesmo desempenho. Teste essa hipótese, sabendo que os resultados de testes feitos com 10 automóveis usando cada tipo combustível indicaram s1=0,63 km / I e s2=0,88 km / l e x1=13,3 km / l e x2=13,9 km / l. (Suponha sigma1^2=sigma2^2 e use alpha=0,05 ).

Passo 1

O enunciado pede para testar a hipótese de que dois combustíveis têm igual desempenho (ou seja, médias iguais) usando amostras de tamanho 10, com variâncias desconhecidas mas assumidas iguais. O conteúdo é o teste t de Student para duas amostras independentes com variâncias iguais (teste t pareado). Vamos precisar calcular a variância agrupada, o estatístico t e comparar com o valor crítico para eta=0,05 e graus de liberdade 18.

Passo 2

Primeiro calculamos a variância agrupada (pooled variance) para resumir a informação de ambas as amostras. A fórmula é:
sp^2 = (n1-1)s1^2 + (n2-1)s2^2n1 + n2 - 2
Substituindo n_1 = n_2 = 10, s_1 = 0{,}63 e s_2 = 0{,}88, temos:
sp^2 = 9times(0,63)^2 + 9times(0,88)^218 = 9times0,3969 + 9times0,774418 = 10,541718 approx0,5857
Logo a variância agrupada é s_p^2\approx0,5857 e o desvio-padrão agrupado é s_p = \sqrt{0,5857} \approx0,7653.

Passo 3

Em seguida, calculamos o valor do estatístico t seguindo:
t = x1 - x2spraiz1n1+1n2
Substituindo \overline{x}_1=13{,}3, \overline{x}_2=13{,}9, s_p=0{,}7653 e n_1=n_2=10, obtemos:
t = 13,3 - 13,90,7653raiztfrac110+tfrac110 = -0,60,7653raiz0,2 = -0,60,3422 approx -1,753

Passo 4

Para \alpha=0{,}05 em teste bilateral com 18 graus de liberdade, o valor crítico é t_{0{,}025,18} \approx \pm2{,}101. Como |t|=1{,}753 < 2{,}101, não rejeitamos H_0.

Passo 5

Portanto, ao nível de significância de 5%, não há evidência estatística suficiente para dizer que os dois combustíveis têm desempenhos diferentes.

Resposta

Não rejeitar H₀; não há evidência, a 5%, de diferença de desempenho entre os combustíveis.

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