Um cooperativa produz três tipos de ração: e , utilizando farelo de soja, gordura animal e milho. Cada quilograma da ração contém de farelo de soja e de milho e não contém gordura animal; cada quilograma da ração contém de farelo de soja, de gordura animal e de milho; cada quilograma da ração contém de farelo de soja, 200 g de gordura animal e 100 g de milho.
Sabendo que a disponibilidade destes produtos na cooperativa nos meses de abril, maio e junho foi dada como na tabela abaixo. Pede-se para determinar qual a quantidade de cada tipo de ração foi produzido em cada um destes meses.
Quant./ Mês
(em tonelada)
Farelo de Soja Gordura Animal Milho
Abril 1 1,5 2
Maio 1,3 2 1,6
Junho 1 1,4 1,8

Passo 1

Temos uma cooperativa que produz três rações A, B e C usando farelo de soja, gordura animal e milho. O enunciado dá, para cada mês (abril, maio e junho), a quantidade disponível em toneladas de cada matéria-prima, e pede quanto de cada ração foi produzido. O conteúdo é montagem e solução de sistemas lineares.

Passo 2

Denotemos por
x = toneladas de (A), y = toneladas de (B), z = toneladas de (C)
Numa tonelada de cada ração consome-se:
  • A: 0,1 t de soja, 0 t de gordura, 0,2 t de milho
  • B: 0,3 t de soja, 0,1 t de gordura, 0,4 t de milho
  • C: 0,2 t de soja, 0,2 t de gordura, 0,1 t de milho
Se num mês houver S t de soja, F t de gordura e M t de milho, o sistema é
0,1x + 0,3y + 0,2z = S, 0x + 0,1y + 0,2z = F, 0,2x + 0,4y + 0,1z = M

Passo 3

Da segunda equação isolamos y:
0,1y + 0,2z = F Longrightarrow y = 10F - 2z
Substituindo em
0,1x + 0,3(10F - 2z) + 0,2z = S
vem
0,1x = S - 3F + 0,4z Longrightarrow x = 10S - 30F + 4z
Por fim, na terceira equação
0,2x + 0,4y + 0,1z = M
substituímos x e y e obtemos
0,1z = M - 2S + 2F Longrightarrow z = 10M - 20S + 20F
Então
y = 10F - 2z, x = 10S - 30F + 4z

Passo 4

Aplicando aos dados de cada mês (todas as quantidades em toneladas):
Abril: (S,F,M)=(1,;1,5,;2)
z = 10cdot2 -20cdot1 +20cdot1,5 = 30, y = 10cdot1,5 -2cdot30 = -45, x = 10cdot1 -30cdot1,5 +4cdot30 = 85
Maio: (S,F,M)=(1,3,;2,;1,6)
z = 10cdot1,6 -20cdot1,3 +20cdot2 = 30, y = 10cdot2 -2cdot30 = -40, x = 10cdot1,3 -30cdot2 +4cdot30 = 73
Junho: (S,F,M)=(1,;1,4,;1,8)
z = 10cdot1,8 -20cdot1 +20cdot1,4 = 26, y = 10cdot1,4 -2cdot26 = -38, x = 10cdot1 -30cdot1,4 +4cdot26 = 72

Resposta

Abril: A=85 t, B=-45 t, C=30 t.
Maio: A=73 t, B=-40 t, C=30 t.
Junho: A=72 t, B=-38 t, C=26 t.

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