Vimos que uma matriz
é simétrica se
e dizemos que a matriz
é anti-simétrica se
Mostre que toda matriz quadrada
pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica.
Mostre que toda matriz quadrada
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dada qualquer matriz quadrada
de ordem
, existe uma decomposição
em que
é simétrica (
) e
é anti-simétrica (
). Vamos usar propriedades de transposição e a ideia de separar
em “metade” dos termos
e
.
Passo 2
Definimos as partes simétrica e anti-simétrica de
da seguinte forma:
Passo 3
Mostramos que
é simétrica:
Passo 4
Mostramos que
é anti-simétrica:
Passo 5
Verificamos que a soma de
e
recupera
:
Resposta
Qualquer matriz quadrada
pode ser escrita como
onde