Vimos que uma matriz An times n é simétrica se A^T=A e dizemos que a matriz An times n é anti-simétrica se A^T=-A
Mostre que toda matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dada qualquer matriz quadrada A de ordem n, existe uma decomposição
A = S + K
em que S é simétrica ( S^T=S) e K é anti-simétrica ( K^T=-K). Vamos usar propriedades de transposição e a ideia de separar A em “metade” dos termos A e A^T.

Passo 2

Definimos as partes simétrica e anti-simétrica de A da seguinte forma:
S = 12l(A + A^Tr)
K = 12l(A - A^Tr)

Passo 3

Mostramos que S é simétrica:
S^T = l(tfrac12(A + A^T)r)^T = tfrac12l(A^T + (A^T)^Tr) = tfrac12(A^T + A) = S

Passo 4

Mostramos que K é anti-simétrica:
K^T = l(tfrac12(A - A^T)r)^T = tfrac12l(A^T - (A^T)^Tr) = tfrac12(A^T - A) = -tfrac12(A - A^T) = -K

Passo 5

Verificamos que a soma de S e K recupera A:
S + K = tfrac12(A + A^T) + tfrac12(A - A^T) = tfrac12l(2Ar) = A

Resposta

Qualquer matriz quadrada A pode ser escrita como
A = S + K,
onde
S = 12(A + A^T)é simétrica, éé
K = 12(A - A^T)é anti-simétrica éé

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