A coordenação de uma biblioteca afirma que a proporção p de livros do seu acervo publicados antes de 1970 é igual a 14 %. Colhida uma amostra aleatória simples de 256 livros do acervo desta biblioteca.
a) Determine a probabilidade de que a proporção de livros na amostra com data de publicação anterior ao ano de 1970 seja inferior a 12 %
b) Obtenha o tamanho necessário da amostra a fim de que proporção amostral p difira de p em menos de 0,02 , com probabilidade igual a 97 %.

Passo 1

O enunciado afirma que a proporção verdadeira de livros publicados antes de 1970 é p=0,14 e que extraímos uma amostra simples de tamanho n=256. Precisamos de dois resultados:
a) a probabilidade de a proporção amostral hat p ficar abaixo de 0,12;
b) o tamanho mínimo n para garantir
Pl(|hat p - p|<0,02r)=0,97
Vamos usar a aproximação normal à distribuição de hat p pelo Teorema Central do Limite.

Passo 2

Para (a), sabe-se que, quando n é grande,
hat psim Nl(p,;sigmahat p^2r),
com
sigmahat p =raizp(1-p)n =raiz0,14cdot0,86256 approx0,0217

Passo 3

Padronizando,
Z=hat p - psigmahat p,
queremos
P(hat p<0,12) = P!l(Z<0,12-0,140,0217r) = Pl(Z<-0,92r) approx0,178

Passo 4

Para (b), fixamos
Pl(|hat p - p|<0,02r)=0,97
Chamando alpha=0,03, temos alpha/2=0,015 e
Pl(|Z|<z1-alpha/2r)=0,97 Longrightarrow z1-alpha/2=z0,985approx2,17
A condição de margem de erro dá
0,02 = z0,985,raizp(1-p)n ;Longrightarrow; n =z0,985^2,p(1-p)0,02^2 =(2,17)^2cdot0,14cdot0,860,0004 approx1417,3
Arredondando para cima, n=1418.

Resposta

a) P(hat p<0,12)approx0,178.
b) napprox1418.

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