Questão 16 - Durante um ano particular, 70% das ações ordinárias negociadas na Bolsa de Nova York tiveram suas cotações aumentadas, enquanto 30 % tiveram duas cotações diminuídas ou estáveis. No começo do ano, um serviço de assessoria financeira escolhe aleatoriamente 5 ações como sendo especialmente recomendadas. Determine a probabilidade de que:
a) exatamente 4 ações tenham suas cotações aumentadas.
b) pelo menos 4 ações tenham suas cotações aumentadas.
c) pelo menos 2 ações tenham suas cotações aumentadas.

Passo 1

O enunciado diz que, num certo ano, uma ação ordinária tem probabilidade p=0,7 de ter sua cotação aumentada e 1-p=0,3 de não aumentar. Escolhemos aleatoriamente n=5 ações e queremos probabilidades sobre o número X de ações que aumentam. Isso é um caso clássico de distribuição binomial, onde
X sim Binl(n=5,;p=0,7r),
e usamos a fórmula
P(X=k) ;=;binomnk,p^k,(1-p)^,n-k

Passo 2

Para (a) queremos exatamente 4 ações aumentando, ou seja k=4. Aplicando a fórmula,
P(X=4) =binom54,(0,7)^4,(0,3)^1 =5cdot(0,7)^4cdot0,3
Calculando:
(0,7)^4=0,2401, 5cdot0,2401cdot0,3=0,36015

Passo 3

Para (b) queremos pelo menos 4 ações aumentando, isto é X>=4. Então
P(X>=4) = P(X=4)+P(X=5)
Já temos P(X=4)=0,36015. Agora
P(X=5) =binom55,(0,7)^5,(0,3)^0 =(0,7)^5=0,16807
Somando:
P(X>=4)=0,36015+0,16807=0,52822

Passo 4

Para (c) queremos pelo menos 2 ações aumentando, ou X>=2. Uma forma rápida é usar o complemento de X<2:
P(X>=2)=1-P(X<2)=1-l[P(X=0)+P(X=1)r]
Calculamos
P(X=0) =(0,3)^5=0,00243,
P(X=1) =binom51,(0,7)^1,(0,3)^4 =5cdot0,7cdot(0,3)^4 =5cdot0,7cdot0,0081 =0,02835
Logo
P(X<2)=0,00243+0,02835=0,03078, P(X>=2)=1-0,03078=0,96922

Resposta

a) P(X=4)=0,36015
b) P(X>=4)=0,52822
c) P(X>=2)=0,96922

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