Questão 17 - Numa determinada eleição, sabe-se que 75 % dos eleitores já escolheram seu candidato, ao passo que os demais estão indecisos. Tomando uma amostra aleatória de três eleitores, NÃO procede a seguinte afirmação, calcule a probabilidade de que:
a) os três eleitores sejam indecisos. R: 0,0156 .
b) haja exatamente um eleitor decidido. R: 0,1406.
c) haja exatamente dois eleitores decididos. R: 0,4219.
d) haja pelo menos um eleitor indeciso. R: 0,5781.
e) haja pelo menos dois eleitores decididos. R: 0,8437 .

Passo 1

O enunciado diz que em uma eleição a probabilidade de um eleitor já ter decidido seu voto é 0,75 e de estar indeciso é 0,25. Selecionamos aleatoriamente n=3 eleitores e queremos várias probabilidades relacionadas ao número de eleitores decididos nessa amostra.

Passo 2

Definimos a variável aleatória X como o número de eleitores decididos numa amostra de n=3. Então
X sim Binomial(n=3,;p=0,75)
e a fórmula geral é
P(X=k) ;=;binom3k,(0,75)^k,(0,25)^3-k,

Passo 3

Para que os três eleitores sejam indecisos equivale a nenhum eleitor decidido, isto é, k=0. Assim,
P(X=0) = binom30(0,75)^0(0,25)^3 = 0,25^3 = 0,015625approx0,0156

Passo 4

Para que haja exatamente um eleitor decidido tomamos k=1:
P(X=1) = binom31(0,75)^1(0,25)^2 = 3 times 0,75 times 0,0625 = 0,140625approx0,1406

Passo 5

Para que haja exatamente dois eleitores decididos usamos k=2:
P(X=2) = binom32(0,75)^2(0,25)^1 = 3 times 0,5625 times 0,25 = 0,421875approx0,4219

Passo 6

Para que haja pelo menos um eleitor indeciso, é mais simples usar o complementar de não haver nenhum indeciso (ou seja, X=3):
P(pelo menos 1 indeciso) = 1 - P(X=3) = 1 - (0,75)^3 = 1 - 0,421875 = 0,578125approx0,5781

Passo 7

Para que haja pelo menos dois eleitores decididos consideramos X>=2:
P(X>=2) = P(X=2)+P(X=3) = 0,421875 + 0,421875 = 0,84375approx0,8437

Resposta

a) 0,0156
b) 0,1406
c) 0,4219
d) 0,5781
e) 0,8437

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