Em coordenadas cartesianas o operador gradiente é dado por
Definimos
, assim como
. Em notação simplificada a Eq. (4) é escrita como
sendo
. Dessa forma as componentes do gradiente são expressas como
. Sejam
campos vetoriais, e
campos escalares
, assim o gradiente, divergente, rotacional e laplaciano tem as expressões em componentes dadas pelas respectivas expressões
,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o divergente do rotacional de um campo vetorial
é nulo, isto é,
Vamos usar a notação em componentes com o símbolo de Levi-Civita
e a comutatividade das derivadas parciais em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Escrevemos a divergência do rotacional em componentes:
Passo 3
Como
é constante em coordenadas cartesianas, podemos tirá-lo para fora da derivada:
Passo 4
Em coordenadas cartesianas as derivadas parciais comutam, ou seja,
Logo
Agora, trocando os rótulos dummy
, temos
Isto mostra que a quantidade vale menos dela mesma, logo é zero.