Em coordenadas cartesianas o operador gradiente é dado por
nabla=imath partialpartial x+jmath partialpartial y+k partialpartial z
Definimos x1, x2, x3=x, y, z, assim como imath, jmath, k=e1, e2, e3. Em notação simplificada a Eq. (4) é escrita como
nabla=partiali ei
sendo partiali=partial / partial xi. Dessa forma as componentes do gradiente são expressas como nabla equiv partiali. Sejam F, G campos vetoriais, e f, g campos escalares ^1, assim o gradiente, divergente, rotacional e laplaciano tem as expressões em componentes dadas pelas respectivas expressões
nabla f & =partiali f nabla cdot F & =partiali Fi nabla times F & =epsiloni j k partialj Fk nabla^2 & =partiali partiali
nabla cdot(nabla times F)=0,

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o divergente do rotacional de um campo vetorial vec F é nulo, isto é,
nablacdot(nablatimesvec F)=0
Vamos usar a notação em componentes com o símbolo de Levi-Civita epsilonijk e a comutatividade das derivadas parciais em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Escrevemos a divergência do rotacional em componentes:
nablacdot(nablatimesvec F) =partialil(epsilonijk,partialjFkr)

Passo 3

Como epsilonijk é constante em coordenadas cartesianas, podemos tirá-lo para fora da derivada:
partialil(epsilonijk,partialjFkr) =epsilonijk,partialipartialjFk

Passo 4

Em coordenadas cartesianas as derivadas parciais comutam, ou seja,
partialipartialjFk=partialjpartialiFk
Logo
epsilonijk,partialipartialjFk =epsilonijk,partialjpartialiFk
Agora, trocando os rótulos dummy irightarrow j, temos
epsilonjik,partialipartialjFk =-,epsilonijk,partialipartialjFk
Isto mostra que a quantidade vale menos dela mesma, logo é zero.

Resposta

nablacdot(nablatimesvec F)=0

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