1. Determine em que pontos da superfície z=x^2-x y+y^2-2 x+4 y o plano tangente é horizontal.

Passo 1

O enunciado dá a superfície
z = x^2 - x,y + y^2 - 2x + 4y
e pede os pontos onde o plano tangente é horizontal. Isso ocorre quando o gradiente de
f(x,y)=x^2 - x,y + y^2 - 2x + 4y
é nulo, ou seja, quando
partial fpartial x=0 e partial fpartial y=0.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x=2x - y - 2,
partial fpartial y=-,x + 2y + 4

Passo 3

Igualamos ambas a zero e resolvemos o sistema:
2x - y - 2 = 0, -,x + 2y + 4 = 0
Da primeira equação segue y=2x-2. Substituindo na segunda:
-,x + 2(2x-2) + 4 = 0 ;implies;-,x +4x -4 +4 = 0 ;implies;3x=0 ;implies;x=0,
então y=2cdot0-2=-2.

Passo 4

Para achar z, avaliamos
z = f(0,-2) = 0^2 -0cdot(-2) +(-2)^2 -2cdot0 +4cdot(-2) = 4 -8 = -4
Logo o único ponto onde o plano tangente é horizontal é (0,-2,-4).

Resposta

(0,-2,-4)

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