Sejam
e
componentes dos vetores
, então valem as relações
Mostre, utilizando notação tensorial, que Obs.: Nos itens acima
e
são vetores no
.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando notação tensorial em
e a identidade do Levi– Civita, que
Para isso vamos precisar das expressões de componente do produto vetorial
; e da identidade
Passo 2
Escrevendo a componente
de
, temos
Passo 3
Substituindo em
e contraindo os índices
, fica
Agora aplicamos
Passo 4
Usando a identidade acima, obtemos
Reconhecendo produtos escalares em componente, isto é
; e
,
temos
temos
o que em forma vetorial é exatamente a identidade desejada.