Sejam Ai e Bi componentes dos vetores A, B in R^3, então valem as relações
(A times B)i & =epsiloni j k Aj Bk A cdot B & =Ai Bi=de<ai j Ai Bj=Aj Bj epsiloni j k epsiloni l m & =de<aj l de<ak m-de<aj m de<ak l
Mostre, utilizando notação tensorial, que Obs.: Nos itens acima C e D são vetores no R^3.
A times B times C=B(A cdot C)-C(A cdot B).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando notação tensorial em R^3 e a identidade do Levi– Civita, que
Atimes(BtimesC) =B,(AcdotC)-C,(AcdotB)
Para isso vamos precisar das expressões de componente do produto vetorial
;( AtimesB )i = epsiloni j kAjBk; e da identidade
epsiloni j k,epsilonk l m =de<ai l,de<aj m-de<ai m,de<aj l

Passo 2

Escrevendo a componente i de Atimes(BtimesC), temos
(Atimes(BtimesC))i =epsiloni j k,Aj;(BtimesC)k com (BtimesC)k =epsilonk l m,Bl,Cm

Passo 3

Substituindo em (Atimes(BtimesC))i e contraindo os índices k, fica
(Atimes(BtimesC))i =epsiloni j k,epsilonk l m;Aj,Bl,Cm
Agora aplicamos
epsiloni j k,epsilonk l m =de<ai l,de<aj m-de<ai m,de<aj l

Passo 4

Usando a identidade acima, obtemos
(Atimes(BtimesC))i =(de<ai lde<aj m-de<ai mde<aj l),Aj,Bl,Cm =Bi,(AjCj)-Ci,(AjBj)
Reconhecendo produtos escalares em componente, isto é
;AjCj=AcdotC; e ;AjBj=AcdotB,
temos
(Atimes(BtimesC))i =Bi,(AcdotC)-Ci,(AcdotB),
o que em forma vetorial é exatamente a identidade desejada.

Resposta

Atimes(BtimesC) =B,(AcdotC)-C,(AcdotB).

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