Em coordenadas cartesianas o operador gradiente é dado por
Definimos
, assim como
. Em notação simplificada a Eq. (4) é escrita como
sendo
. Dessa forma as componentes do gradiente são expressas como
. Sejam
campos vetoriais, e
campos escalares
, assim o gradiente, divergente, rotacional e laplaciano tem as expressões em componentes dadas pelas respectivas expressões
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando notação de índices e propriedades do tensor de Levi-Civita, que vale a identidade de cálculo vetorial
Aqui
é um campo escalar e
um campo vetorial. Vamos usar a definição em componentes do rotacional:
e a regra do produto para derivadas parciais.
Passo 2
Escrevemos o componente
do rotacional de
como
Passo 3
Aplicamos a regra do produto nas derivadas parciais:
Substituindo em
obtemos
Passo 4
No segundo termo podemos tirar
para fora do tensor de Levi-Civita:
O primeiro termo é exatamente a componente
de
:
Somando os dois termos, chega-se à identidade desejada.