Em coordenadas cartesianas o operador gradiente é dado por
nabla=imath partialpartial x+jmath partialpartial y+k partialpartial z
Definimos x1, x2, x3=x, y, z, assim como imath, jmath, k=e1, e2, e3. Em notação simplificada a Eq. (4) é escrita como
nabla=partiali ei
sendo partiali=partial / partial xi. Dessa forma as componentes do gradiente são expressas como nabla equiv partiali. Sejam F, G campos vetoriais, e f, g campos escalares ^1, assim o gradiente, divergente, rotacional e laplaciano tem as expressões em componentes dadas pelas respectivas expressões
nabla f & =partiali f nabla cdot F & =partiali Fi nabla times F & =epsiloni j k partialj Fk nabla^2 & =partiali partiali
nabla times(f F)=f nabla times F+(nabla f) times F.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando notação de índices e propriedades do tensor de Levi-Civita, que vale a identidade de cálculo vetorial
nabla times (f,F) = f,nabla times F + (nabla f)times F
Aqui f é um campo escalar e F um campo vetorial. Vamos usar a definição em componentes do rotacional:
(nabla times A)i = epsilonijk,partialjAk,
e a regra do produto para derivadas parciais.

Passo 2

Escrevemos o componente i do rotacional de f,F como
(nabla times (f,F))i = epsilonijk,partialj(f,Fk)

Passo 3

Aplicamos a regra do produto nas derivadas parciais:
partialj(f,Fk) = (partialjf),Fk + f,(partialjFk)
Substituindo em (nabla times (fF))i obtemos
(nabla times (f,F))i = epsilonijk,(partialjf),Fk + epsilonijk,f,(partialjFk)

Passo 4

No segundo termo podemos tirar f para fora do tensor de Levi-Civita:
epsilonijk,f,(partialjFk) = f,l(epsilonijk,partialjFkr) = f,(nabla times F)i
O primeiro termo é exatamente a componente i de (nabla f)times F:
epsilonijk,(partialjf),Fk = l((nabla f)times Fr)i
Somando os dois termos, chega-se à identidade desejada.

Resposta

nabla times (f,F) = f,nabla times F + (nabla f)times F

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