Seja f(x)=sen x. Calcule f^(50)(x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a 50ª derivada de f(x)=sin(x). O que precisamos aqui é conhecer a regra de derivação de sin(x) e notar o padrão cíclico que suas derivadas formam.

Passo 2

Vamos listar as primeiras derivadas de sin(x) e observar o ciclo:
f(x)&=sin(x), f'(x)&=cos(x), f''(x)&=-sin(x), f'''(x)&=-cos(x), f^(4)(x)&=sin(x),
e a partir daí o padrão se repete a cada 4 derivadas.

Passo 3

Para saber qual expressão corresponde a f^(50)(x), basta calcular o resto da divisão de 50 por 4:
50 = 4 times 12 + 2,
logo o resto é 2. Isso significa que f^(50)(x) coincide com f''(x).

Passo 4

Como vimos acima,
f''(x)=-sin(x),
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f^(50)(x)=-sin(x)

Resposta

f^(50)(x)=-sin(x).

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