Em quanto tempo um capital de RS 1.800,00, aplicado à taxa de 0,2 % ao dia, resulta em um montante de RS 53.000,00?

Passo 1

O enunciado pede o tempo necessário para que um capital inicial de R 1.800,00 aplicado a uma taxa de 0,2% ao dia atinja o montante de R 53.000,00; o conteúdo envolve juros compostos e o uso de logaritmos para isolar o tempo.

Passo 2

Em juros compostos, o montante é dado por
M = P,(1 + i)^n
onde P é o capital inicial, i a taxa por período e n o número de períodos. Substituindo P = 1800, i = 0,002 e M = 53000, temos
53000 = 1800,(1+0,002)^n .

Passo 3

Para encontrar n, aplicamos logaritmo natural dos dois lados e usamos a propriedade ln(a^n)=nln(a):
ln(53000) = lnl(1800,(1+0,002)^nr) = ln(1800) + nln(1+0,002)
Logo,
n = ln(53000) - ln(1800)ln(1+0,002) = lnl(53000/1800r)ln(1,002) .

Passo 4

Agora basta calcular numericamente:
ln(53000/1800)ln(1,002) approx ln(29,4444)ln(1,002) approx 3,38240,001998 approx 1692
Portanto, o investimento leva cerca de 1692 dias.

Resposta

A aplicação deve durar aproximadamente 1692 dias.

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