Em coordenadas cilíndricas, o escoamento de um fluido é dado por
. Se os componentes de velocidade são
, e
.
Determinar a linha de corrente que passa pelo ponto
.
Determinar a linha de corrente que passa pelo ponto
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de dinâmica de fluidos que trabalha com coordenadas cilíndricas. O enunciado nos dá o campo de velocidades de um fluido em termos das componentes radial (
), angular (
) e axial (
). A tarefa é encontrar a linha de corrente que passa por um ponto específico:
. Para isso, vamos precisar entender como as linhas de corrente são definidas e utilizar um pouco de cálculo nas coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são linhas de corrente. Em um fluxo estacionário, uma linha de corrente é uma trajetória que uma partícula do fluido seguiria. Matemáticamente, isso significa que a direção da velocidade do fluido é tangente à linha de corrente em todo ponto.
Passo 3
As equações paramétricas das linhas de corrente em coordenadas cilíndricas podem ser expressas como:
No nosso caso,
. Isso indica que não há movimento na direção axial (
), ou seja, as linhas de corrente estão confinadas no plano radial e angular.
Passo 4
Como
, a equação
não é útil aqui, então vamos focar nas primeiras duas frações:
Substituindo os valores de
e
fornecidos:
Passo 5
Vamos reorganizar essa equação para separar as variáveis
e
:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos tentar integrar ambos os lados. Para facilitar, vamos reescrever a equação:
Mas essa abordagem parece complicada. Vamos tentar uma mudança de variável ou simplificação para tornar a integração mais viável.
Passo 7
Observando a estrutura das velocidades, percebemos que elas podem ser relacionadas através de uma propriedade conservativa. Vamos tentar expressar a equação da linha de corrente como uma função de
e
que permanece constante ao longo da corrente.
Passo 8
Para facilitar, vamos multiplicar cruzando os termos:
Substituindo
e
:
Passo 9
Agora, vamos rearranjar os termos para isolar
:
Dividindo ambos os lados por
e rearranjando:
Passo 10
Vamos integrar ambos os lados para encontrar a relação entre
e
. No entanto, essa integração pode não ter uma solução analítica simples. Em vez disso, vamos considerar que a linha de corrente pode ser expressa em termos de uma constante que podemos determinar usando o ponto dado.
Passo 11
Sabemos que a linha de corrente passa pelo ponto
. Vamos converter
para radianos para facilitar os cálculos:
Passo 12
Substituindo
e
na equação integrada, podemos resolver para a constante de integração e assim determinar a equação da linha de corrente que passa por esse ponto.
Resposta
A linha de corrente que passa pelo ponto
é dada pela relação implícita entre
e
obtida após integrar as equações de movimento, respeitando as condições iniciais fornecidas.