Em coordenadas cilíndricas, o escoamento de um fluido é dado por
. Se os componentes de velocidade são
, e
.
Determinar a equação da linha de Trajetória da partícula que no instante de tempo
. é liberada em
.
Determinar a equação da linha de Trajetória da partícula que no instante de tempo
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O enunciado nos dá as componentes da velocidade de um fluido em coordenadas cilíndricas: $ u_r $, $ u_\theta $ e $ u_z $. Nosso objetivo é encontrar a equação da trajetória de uma partícula desse fluido que é liberada no instante $ t = 0 $ com posição inicial $ (r, \theta, z) = (1, m, 225^\circ, 0,5, m) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento em coordenadas cilíndricas e resolver equações diferenciais que descrevem o movimento da partícula ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as componentes da velocidade dadas:
Como $ u_z = 0 $, a partícula não se move na direção $ z $. Portanto, a posição $ z $ permanece constante em $ z = 0,5, m $.
Passo 3
Agora, vamos focar nas equações para $ r $ e $ \theta $. Sabemos que:
Vamos substituir as expressões para $ u_r $ e $ u_\theta $:
Passo 4
Para simplificar, vamos tentar separar as variáveis. Observe que as equações estão interligadas por $ \theta $ e $ r $, então podemos dividir a equação de $ dr/dt $ pela equação de $ d\theta/dt $ para eliminar $ dt $:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Isso ainda está complicado, então vamos tentar outra abordagem. Talvez uma substituição ou considerar que a trajetória possa ser descrita em termos de $ r $ e $ \theta $.
Passo 6
Vamos tentar separar as variáveis diferentestando $ r $ e $ \theta $. Observe que:
Para facilitar, podemos rearranjar:
Isso pode ser integrado para encontrar uma relação entre $ r $ e $ \theta $.
Passo 7
Vamos integrar ambos os lados:
Primeiro, simplifiquemos a fração no lado esquerdo:
Podemos usar frações parciais para integrar.
Passo 8
Aplicando frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por $ r (r - 2)(r + 2) $:
Explicando isso em detalhe seria extenso, mas após resolver para $ A $, $ B $, e $ C $, encontramos os valores:
Passo 9
Agora, integrando cada termo:
Do lado direito:
Passo 10
Igualando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por 4:
Onde $ C’ = 4C $.
Passo 11
Aplicando as propriedades dos logaritmos:
Isso implica que:
Onde $ K = e^{C’} $ é uma constante.
Passo 12
Para determinar $ K $, usamos as condições iniciais: quando $ t = 0 $, $ r = 1, m $ e $ \theta = 225^\circ $.
Convertendo $ 225^\circ $ para radianos:
Calculando $ \sin (5\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Porém, como estamos elevando ao quadrado na expressão final, o sinal não importa:
Substituindo na equação:
Portanto, $ K = -\frac{1}{12} $.
Passo 13
Agora, a equação da trajetória fica:
Essa é a equação implícita da trajetória da partícula no fluido.
Resposta
A equação da linha de trajetória da partícula é: