Em coordenadas cilíndricas, o escoamento de um fluido é dado por u=(ur, utheta, uz). Se os componentes de velocidade são ur=(1-4r^2) cos theta, utheta=-(1+4r^2) sin theta, e uz=0 em m / s.
Determinar a equação da linha de Trajetória da partícula que no instante de tempo t=0 s. é liberada em x=(1 m, 225^circ, 0,5 m).

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O enunciado nos dá as componentes da velocidade de um fluido em coordenadas cilíndricas: $ u_r $, $ u_\theta $ e $ u_z $. Nosso objetivo é encontrar a equação da trajetória de uma partícula desse fluido que é liberada no instante $ t = 0 $ com posição inicial $ (r, \theta, z) = (1, m, 225^\circ, 0,5, m) $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento em coordenadas cilíndricas e resolver equações diferenciais que descrevem o movimento da partícula ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as componentes da velocidade dadas:
ur = (1 - 4r^2) cos theta
utheta = -(1 + 4r^2) sin theta
uz = 0, m/s
Como $ u_z = 0 $, a partícula não se move na direção $ z $. Portanto, a posição $ z $ permanece constante em $ z = 0,5, m $.

Passo 3

Agora, vamos focar nas equações para $ r $ e $ \theta $. Sabemos que:
r
theta
Vamos substituir as expressões para $ u_r $ e $ u_\theta $:
drdt = ur
dthetadt = utheta / r

Passo 4

Para simplificar, vamos tentar separar as variáveis. Observe que as equações estão interligadas por $ \theta $ e $ r $, então podemos dividir a equação de $ dr/dt $ pela equação de $ d\theta/dt $ para eliminar $ dt $:
theta

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
drdtheta = -r ( r^2 - 4 ) cos thetar^2 + 4 cdot 1sin theta = -r ( r^2 - 4 ) cot thetar^2 + 4
Isso ainda está complicado, então vamos tentar outra abordagem. Talvez uma substituição ou considerar que a trajetória possa ser descrita em termos de $ r $ e $ \theta $.

Passo 6

Vamos tentar separar as variáveis diferentestando $ r $ e $ \theta $. Observe que:
r
Para facilitar, podemos rearranjar:
theta
Isso pode ser integrado para encontrar uma relação entre $ r $ e $ \theta $.

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados:
integral r^2 + 4r (r^2 - 4) dr = -integral cot theta, dtheta
Primeiro, simplifiquemos a fração no lado esquerdo:
r^2 + 4r (r^2 - 4) = r^2 + 4r (r - 2)(r + 2)
Podemos usar frações parciais para integrar.

Passo 8

Aplicando frações parciais:
r^2 + 4r (r - 2)(r + 2) = Ar + Br - 2 + Cr + 2
Multiplicando ambos os lados por $ r (r - 2)(r + 2) $:
r (r - 2)(r + 2)
Explicando isso em detalhe seria extenso, mas após resolver para $ A $, $ B $, e $ C $, encontramos os valores:
r^2 + 4 = A (r - 2)(r + 2) + B r (r + 2) + C r (r - 2)

Passo 9

Agora, integrando cada termo:
integral ( 14r + 14(r - 2) + 14(r + 2) ) dr = 14 ln |r| + 14 ln |r - 2| - 14 ln |r + 2| + C
Do lado direito:
- integral cot theta, dtheta = - ln |sin theta| + C

Passo 10

Igualando as integrais:
14 ln ( r (r - 2)r + 2 ) = - ln |sin theta| + C
Multiplicando ambos os lados por 4:
ln ( r (r - 2)r + 2 ) = -4 ln |sin theta| + C'
Onde $ C’ = 4C $.

Passo 11

Aplicando as propriedades dos logaritmos:
ln ( r (r - 2)r + 2 ) + 4 ln |sin theta| = C'
Isso implica que:
r (r - 2)r + 2 cdot (sin theta)^4 = K
Onde $ K = e^{C’} $ é uma constante.

Passo 12

Para determinar $ K $, usamos as condições iniciais: quando $ t = 0 $, $ r = 1, m $ e $ \theta = 225^\circ $.
Convertendo $ 225^\circ $ para radianos:
K
Calculando $ \sin (5\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $. Porém, como estamos elevando ao quadrado na expressão final, o sinal não importa:
t = 0
Substituindo na equação:
r = 1, m
Portanto, $ K = -\frac{1}{12} $.

Passo 13

Agora, a equação da trajetória fica:
r (r - 2)r + 2 cdot (sin theta)^4 = -112
Essa é a equação implícita da trajetória da partícula no fluido.

Resposta

A equação da linha de trajetória da partícula é:
r (r - 2)r + 2 cdot (sin theta)^4 = -112

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