As coordenadas de um corpo são dadas por x(t)=t^2 e y(t)=(t-1)^2. Determine:
© an e atau para um instante qualquer;
(d) an e atau para t=1 s.

Passo 1

Beleza, temos um movimento no plano dado por
e .
O que a questão pede é a decomposição da aceleração em duas partes:
  • aceleração tangencial , que é a parte da aceleração que muda a rapidez (módulo da velocidade);
  • aceleração normal , que é a parte que “vira” o movimento.
Para isso, vamos precisar de:
  1. vetor velocidade e vetor aceleração (derivadas de );
  2. rapidez ;
  3. fórmula de ;
  4. fórmula de .

Passo 2

Calcular e :

  • .
Derivando de novo:

  • .

Passo 3

Calcular a rapidez v(t)=raiz(2t)^2+l(2(t-1)r)^2 =2raiz,t^2+(t-1)^2, =2raiz2t^2-2t+1 :
atau=d,vdt =ddtl[2raiz2t^2-2t+1r]
Agora a aceleração tangencial é
v(t)=2raizS(t), v'(t)=2cdot12raizS(t)cdot S'(t) =S'(t)raizS(t)
Seja boxedatau(t) =4t-2raiz2t^2-2t+1, . Então
Como ,

Passo 4

Para achar an=raiz| a|^2 - atau^2 usamos
an =raiz8 ;-;(4t-2)^22t^2-2t+1 =raiz8(2t^2-2t+1)-(4t-2)^22t^2-2t+1
Sabemos boxedan(t) =2raiz2t^2-2t+1, . Então
Calculando o numerador:
e .
A diferença é . Logo

Passo 5

No instante :
  • .
  • Logo .
  • E .

Resposta

• Para um instante qualquer :

e
.
• No instante :
e .

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