Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial da equação diferencial linear de primeira ordem
y' - 2y = c^2,
com condição y(0)=2. Vamos usar o método de solução geral: achar a solução homogênea, uma solução particular e em seguida impor a condição inicial.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea associada
y' - 2y = 0
temos
dydx=2y Longrightarrow integral1y,dy=integral2,dx Longrightarrow ln|y|=2x+K Longrightarrow yh = Ce^2x

Passo 3

Para achar uma solução particular yp de
y' - 2y = c^2,
fazemos o palpite yp= constante. Como yp'=0, segue
-2yp = c^2 Longrightarrow yp = -c^22

Passo 4

A solução geral da ODE é
y(x) = yh + yp = Ce^2x - c^22

Passo 5

Impondo a condição inicial y(0)=2, vem
y(0)=C - c^22 = 2 Longrightarrow C = 2 + c^22

Passo 6

Substituindo o valor de C na solução geral, obtemos
y(x) = l(2 + tfracc^22r)e^2x - c^22

Resposta

y(x) = l(2 + tfracc^22r)e^2x - c^22

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