Q7: As coordenadas de uma partícula que se move no plano
são dadas em função do tempo por:
(a) Determine a distancia da partícula à origem em
.
(b) Qual a velocidade (módulo e direção) da partícula em
.
(c) Qual a aceleração (módulo e direção) da partícula em
.
(d) Em que instantes a velocidade e aceleração são perpendiculares?
(e) Em que instantes a velocidade e vetor posição são perpendiculares? Quais as posições da partícula nesses instantes?
(f) Qual a distância mínima a partícula à origem? Em que instantes isso ocorre?
(g) Esboçar a trajetória da partícula.
(b) Qual a velocidade (módulo e direção) da partícula em
(c) Qual a aceleração (módulo e direção) da partícula em
(d) Em que instantes a velocidade e aceleração são perpendiculares?
(e) Em que instantes a velocidade e vetor posição são perpendiculares? Quais as posições da partícula nesses instantes?
(f) Qual a distância mínima a partícula à origem? Em que instantes isso ocorre?
(g) Esboçar a trajetória da partícula.
Passo 1
O enunciado dá o movimento de uma partícula no plano com
Vamos usar conceitos de cinemática vetorial em 2D: derivadas para velocidade e aceleração, produto escalar para checar perpendicularidade, e análise de mínimo para distância.
Passo 2
Para t=2,s, calculamos a posição e a distância à origem. Primeiro,
Assim,
Passo 3
A velocidade é
. Como
em
temos
. Então
e a direção é
Passo 4
A aceleração é
. Como
e
, em
temos
apontando para baixo (eixo
).
Passo 5
Velocidade e aceleração são perpendiculares quando
. Logo
Passo 6
isto é
ou
. Para tempos físicos consideramos
~s. As posições são:
Passo 7
Para achar a distância mínima à origem minimizamos
. Derivando e igualando a zero obtém-se novamente
. O menor valor aparece em
~s e
Passo 8
Eliminando o tempo da trajetória: de
segue
. Logo
É uma parábola com vértice em
abrindo para baixo.
Resposta
a)
b)
c)
(para baixo). d)
e)
~s; posições
e
. f) distância mínima
em
~s. g) trajetória
, parábola com vértice em
abrindo para baixo.