Q7: As coordenadas de uma partícula que se move no plano x y são dadas em função do tempo por:
x=(2 m / s) t, y=19 m-(2 m / s^2) t^2
(a) Determine a distancia da partícula à origem em t=2 s.
(b) Qual a velocidade (módulo e direção) da partícula em t=2 s.
(c) Qual a aceleração (módulo e direção) da partícula em t=2 s.
(d) Em que instantes a velocidade e aceleração são perpendiculares?
(e) Em que instantes a velocidade e vetor posição são perpendiculares? Quais as posições da partícula nesses instantes?
(f) Qual a distância mínima a partícula à origem? Em que instantes isso ocorre?
(g) Esboçar a trajetória da partícula.

Passo 1

O enunciado dá o movimento de uma partícula no plano com
x(t)=(2m/s)t, y(t)=19m-(2m/s^2)t^2
Vamos usar conceitos de cinemática vetorial em 2D: derivadas para velocidade e aceleração, produto escalar para checar perpendicularidade, e análise de mínimo para distância.

Passo 2

Para t=2,s, calculamos a posição e a distância à origem. Primeiro,
x(2)=(2)(2)=4m, y(2)=19-2cdot2^2=11m
Assim,
r(2)=raiz4^2+11^2=raiz137m

Passo 3

A velocidade é vec v=dot x,hat i+dot y,hat j. Como
vx=2m/s, vy=ddt(19-2t^2)=-4tm/s,
em t=2 temos vy=-8m/s. Então
|vec v|=raiz2^2+(-8)^2=raiz68approx8.246m/s,
e a direção é
theta=arctanl(vyvxr)=arctan(-4)approx-76^circ

Passo 4

A aceleração é vec a=ddot x,hat i+ddot y,hat j. Como ddot x=0 e ddot y=-4m/s^2, em t=2 temos
vec a=lang<=0,-4rang<=m/s^2, |vec a|=4m/s^2,
apontando para baixo (eixo -y).

Passo 5

Velocidade e aceleração são perpendiculares quando vec vcdotvec a=0. Logo
2cdot0+(-4t)(-4)=0implies16t=0implies t=0

Passo 6

vec v é perpendicular ao vetor posição vec r=lang<= x,yrang<= quando vec rcdotvec v=0. Isso dá
2tcdot2+(19-2t^2)(-4t)=0implies4t[1-(19-2t^2)]=0implies t(2t^2-18)=0,
isto é t=0 ou t=pm3. Para tempos físicos consideramos t=0,3~s. As posições são:
t=0:;(0,19), t=3:;(6,1)

Passo 7

Para achar a distância mínima à origem minimizamos r^2(t)=4t^2+(19-2t^2)^2. Derivando e igualando a zero obtém-se novamente t=0,pm3. O menor valor aparece em t=3~s e
rmin=raiz6^2+1^2=raiz37m

Passo 8

Eliminando o tempo da trajetória: de x=2t segue t=x/2. Logo
y=19-2l(x2r)^2=19-x^22
É uma parábola com vértice em (0,19) abrindo para baixo.

Resposta

a) r(2)=raiz137m b) vec v(2)=lang<=2,-8rang<=m/s,;|vec v|=raiz68approx8.246m/s,;theta=arctan(-4)approx-76^circ c) vec a=lang<=0,-4rang<=m/s^2,;|vec a|=4m/s^2 (para baixo). d) t=0 e) t=0,3~s; posições (0,19) e (6,1). f) distância mínima raiz37m em t=3~s. g) trajetória y=19-x^22, parábola com vértice em (0,19) abrindo para baixo.

Exercícios relacionados