Q6: A posição em metros de um objeto movendo ao longo de uma reta é dada por x(t)=6 t^2-t^3, onde t é medido em segundos.
(a) Calcule a velocidade v(t) e encontre os instantes em que o objeto está em repouso.
(b) Encontre a aceleração, a(t), e determine quando ela é nula.
(c) Quais os valores da aceleração quando a velocidade é nula?
(d) Qual a valor da velocidade quando a aceleração é nula?
(e) Calcule as posições do objeto quando v=0 e a=0.
(f) Vale a equação v=v0+a t ? Justifique.
(g) Em que instante o objeto volta a x=0 ? Qual é a velocidade e aceleração nesse momento?
R6 12 t-3 t^2, t=0, t=4 ; 12-6 t, t=2 s ; 12 m / s^2,-12 m / s^2 ; 0 m, 32 m, 16 m ;
Não. A aceleração não é constante; t=6 s, 36 m / s, 24 m / s^2.

Passo 1

O enunciado dá a posição
x(t)=6t^2-t^3
e pede velocidade, aceleração, instantes e valores ligados a elas, além de verificar se vale v=v0+a,t e quando o objeto retorna a x=0. Vamos usar derivação para obter v(t) e a(t) e depois resolver equações mais simples.

Passo 2

Para a velocidade, derivamos x(t):
v(t)=dxdt=12t-3t^2
Impondo v(t)=0:
12t-3t^2=0Longrightarrow t(4-t)=0
logo os instantes de repouso são
t=0e t=4 s

Passo 3

Para a aceleração, derivamos v(t):
a(t)=dvdt=12-6t
Impondo a(t)=0:
12-6t=0Longrightarrow t=2 s

Passo 4

(c) Avaliamos a(t) nos instantes de v=0:
a(0)=12 m/s^2, a(4)=12-6cdot4=-12 m/s^2
(d) Avaliamos v(t) no instante de a=0:
v(2)=12cdot2-3cdot2^2=24-12=12 m/s

Passo 5

(e) Calculamos as posições nos instantes anteriores:
  • Para v=0: x(0)=0, x(4)=6cdot4^2-4^3=96-64=32 m
  • Para a=0: x(2)=6cdot2^2-2^3=24-8=16 m

Passo 6

(f) A fórmula v=v0+a,t só vale se a for constante. Aqui a(t)=12-6t depende de t, logo não vale.

Passo 7

(g) Para voltar a x=0 (além de t=0), resolvemos
6t^2-t^3=0Longrightarrow t^2(6-t)=0Longrightarrow t=6 s
Nesse instante
v(6)=12cdot6-3cdot6^2=72-108=-36 m/s, a(6)=12-6cdot6=12-36=-24 m/s^2

Resposta

(a) v(t)=12t-3t^2; repouso em t=0 s e t=4 s.
(b) a(t)=12-6t; anulação em t=2 s.
(c) a(0)=12 m/s^2, a(4)=-12 m/s^2.
(d) v(2)=12 m/s.
(e) x(0)=0 m, x(4)=32 m; x(2)=16 m.
(f) Não, pois a não é constante.
(g) Volta a x=0 em t=6 s; v(6)=-36 m/s, a(6)=-24 m/s^2.

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