As coordenadas de uma partícula que se move no plano x y é dada por x=1+2 t^2 e y=2 t+t^3. Determine a velocidade e aceleração no ponto t=2 s. (módulo e direção)

Passo 1

O enunciado dá as funções de posição de uma partícula no plano: x(t)=1+2t^2 e y(t)=2t+t^3. O conteúdo é cinemática vetorial no plano e vamos precisar derivar essas funções para obter velocidade e depois derivar novamente para obter a aceleração, avaliando tudo em t=2 s.

Passo 2

Calculamos a velocidade vetorial geral fazendo as derivadas de x(t) e y(t):
dot x(t)=dxdt=4t, dot y(t)=dydt=2+3t^2
Portanto
v(t)=(4t,,2+3t^2)

Passo 3

Avaliando em t=2:
v(2)=(4cdot2,,2+3cdot2^2)=(8,14)

Passo 4

Para o módulo e direção de v(2):
|v(2)|=raiz8^2+14^2=raiz260=2raiz65,
thetav=arctanl(tfrac148r)approx60,26^circ

Passo 5

Agora a aceleração vetorial geral é dada pela segunda derivada:
ddot x(t)=d^2xdt^2=4, ddot y(t)=d^2ydt^2=6t,
ou seja
a(t)=(4,6t)

Passo 6

Avaliando em t=2:
a(2)=(4,6cdot2)=(4,12)

Passo 7

Para o módulo e direção de a(2):
|a(2)|=raiz4^2+12^2=raiz160=4raiz10,
thetaa=arctanl(tfrac124r)=arctan(3)approx71,57^circ

Resposta

Velocidade em t=2: módulo 2raiz65approx16,12 e direção thetavapprox60,26^circ. Aceleração em t=2: módulo 4raiz10approx12,65 e direção thetaaapprox71,57^circ.

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