Uma partícula se move ao longo de um plano x y e seu movimento é definido pelas equações x=4 t^4-6 t e y=6 t^3-2 t^2(x em m, e t em s). a) Determine o vetor posição da partícula em relação a origem. b) Determine o vetor velocidade e o vetor aceleração. c) Calcule o módulo da velocidade e da aceleração da partícula nos instantes t=1 s, t=2 s e t=4 s.

Passo 1

O enunciado nos dá as equações paramétricas do movimento de uma partícula no plano xy: x(t)=4t⁴−6t e y(t)=6t³−2t². O conteúdo aqui é cinemática vetorial: definimos o vetor posição, derivamos para achar velocidade e aceleração, e usamos o módulo de um vetor bidimensional, isto é raizx^2+y^2.

Passo 2

Primeiro escrevemos o vetor posição em função do tempo. Definindo vec r(t)=x(t)hat i+y(t)hat j, temos:
vec r(t)=(4t^4-6t)hat i+(6t^3-2t^2)hat j

Passo 3

Para obter o vetor velocidade, derivamos vec r(t) em relação a t. Calculamos
x'(t)=ddt(4t^4-6t)=16t^3-6,
y'(t)=ddt(6t^3-2t^2)=18t^2-4t
Logo,
vec v(t)=(16t^3-6)hat i+(18t^2-4t)hat j

Passo 4

Para achar o vetor aceleração, derivamos vec v(t) em relação a t. Calculamos
x''(t)=ddt(16t^3-6)=48t^2,
y''(t)=ddt(18t^2-4t)=36t-4
Portanto,
vec a(t)=48t^2hat i+(36t-4)hat j

Passo 5

Finalmente, nos instantes t=1, t=2 e t=4, avaliamos os componentes de vec v e vec a e usamos
|vec v|=raizvx^2+vy^2, |vec a|=raizax^2+ay^2
Calculando obtemos os valores numéricos dos módulos nesses instantes.

Resposta

vec r(t)=(4t^4-6t)hat i+(6t^3-2t^2)hat j
vec v(t)=(16t^3-6)hat i+(18t^2-4t)hat j
vec a(t)=48t^2hat i+(36t-4)hat j
Nos instantes considerados:
para t=1,s: |vec v|approx1720,m/s, |vec a|approx5769,m/s^2;
para t=2,s: |vec v|approx13778,m/s, |vec a|approx20368,m/s^2;
para t=4,s: |vec v|approx105372,m/s, |vec a|approx78072,m/s^2.

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