Em coordenadas polares, o valor médio de una furição sobre uma região
é dado por
A partir disso, encontre a altura média da superfície hemisférica
acima do disco
no plano
Passo 1
O enunciado pede a altura média da superfície hemisférica
sobre o disco
no plano
. Para isso vamos usar o valor médio de uma função
sobre uma região
:
Aqui
e usaremos coordenadas polares, pois
é um disco.
Passo 2
Calculamos a área do disco
. Como
tem raio
,
Passo 3
Em coordenadas polares
, temos
e a função
vira
Logo o valor médio é
Passo 4
Calculemos a integral em
por substituição. Seja
, então
e
Passo 5
Agora a integral em
theta dá
integral0^2pidtheta=2pi . Portanto o valor médio é
Resposta
A altura média da hemisfera sobre o disco é
2a3 .