Em coordenadas polares, o valor médio de una furição sobre uma região R é dado por
1Arca(R) integralegral duplaR f(r, theta) r d r d theta
A partir disso, encontre a altura média da superfície hemisférica z=raiza^2-x^2-y^2 acima do disco x^2+y^2 <= a^2 no plano x y

Passo 1

O enunciado pede a altura média da superfície hemisférica
z = raiza^2-x^2-y^2
sobre o disco
R = (x,y)mid x^2+y^2<= a^2
no plano xy. Para isso vamos usar o valor médio de uma função f(x,y) sobre uma região R:
1Area(R)integral duplaRf(x,y),dA
Aqui f(x,y)=z e usaremos coordenadas polares, pois R é um disco.

Passo 2

Calculamos a área do disco R. Como R tem raio a,
Area(R)=pi a^2

Passo 3

Em coordenadas polares (r,theta), temos
x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta,
e a função z vira
f(r,theta)=raiza^2-r^2
Logo o valor médio é
1pi a^2 integral0^2pi integral0^a raiza^2-r^2;r,dr,dtheta

Passo 4

Calculemos a integral em r por substituição. Seja u=a^2-r^2, então du=-2r,dr e
integral0^arraiza^2-r^2,dr =12integralu=a^2^0raizu,(-du) =12integral0^a^2u^1/2,du =12cdot23u^3/2|0^a^2 =a^33

Passo 5

Agora a integral em theta integral0^2pidtheta=2pi. Portanto o valor médio é
1pi a^2;l(2pir);a^33 =2a3

Resposta

A altura média da hemisfera sobre o disco é 2a3.

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