A região dentro da cardioide r=1+cos theta e fora da circunferencia r=1 é a base de un cilindro sólido reto. O topo do cilindro está no plano z=x. Encontre o volume

Passo 1

O enunciado pede o volume do cilindro reto cuja base é a região no plano xy limitada por dentro pela circunferência r=1 e por fora pela cardioide r=1+costheta, e cujo topo é dado pelo plano z=x.
Conteúdo: integração dupla em coordenadas polares. Vamos usar
V = integral duplaR z,dA,
com z=x e dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Descriminamos a região R em coordenadas polares. Temos que r varia de 1 até 1+costheta, mas só faz sentido quando 1+costheta>=1, isto é costheta>=0. Logo
thetainl[-tfracpi2,tfracpi2r], rin[1,,1+costheta]

Passo 3

Em polares x = rcostheta, dA = r,dr,dtheta. Portanto
V = integraltheta=-pi/2^pi/2!integralr=1^1+costheta (rcostheta),(r,dr,dtheta) =integral-pi/2^pi/2!integral1^1+costhetar^2costheta,dr,dtheta

Passo 4

Fazemos a integral em r:
integral1^1+costhetar^2,dr =[r^33]1^1+costheta =(1+costheta)^3-13
Logo
V = integral-pi/2^pi/2 costheta; (1+costheta)^3-13,dtheta =13integral-pi/2^pi/2 l(3cos^2theta+3cos^3theta+cos^4thetar),dtheta

Passo 5

Todas as potências de costheta são funções pares, então
integral-pi/2^pi/2cos^ntheta,dtheta =2integral0^pi/2cos^ntheta,dtheta
Usamos
integral0^pi/2cos^2theta,dtheta=pi4, integral0^pi/2cos^3theta,dtheta=23, integral0^pi/2cos^4theta,dtheta=3pi16
Assim, chamando
I = integral-pi/2^pi/2l(3cos^2theta+3cos^3theta+cos^4thetar)dtheta,
temos
I = 3cdot2cdotpi4 +3cdot2cdot23 +2cdot3pi16 =3pi2+4+3pi8 =15pi8+4

Passo 6

Voltando ao volume:
V = 13,I =13l(15pi8+4r) =15pi24+43 =5pi8+43

Resposta

V = 5pi8 + 43

Exercícios relacionados