Resolva a equação de Lapalce para a temperatura em uma placa retangular sujeita às seguintes condições de contorno
Passo 1
O problema é resolver a equação de Laplace
numa placa retangular
(0<= x<= a,;0<= y<= b) sujeita às condições de contorno
O método será Separação de Variáveis: buscamos soluções da forma
u(x,y)=X(x),Y(y) .
Passo 2
Substituindo
u(x,y)=X(x)Y(y) na equação de Laplace e dividindo por
X(x)Y(y) , obtemos
onde
lambda é constante de separação. Assim temos os dois ODEs
Passo 3
Impondo
X(0)=0 e
X(a)=0 no ODE
X''+lambda X=0 , obtemos autovalores
lambdan=(npi/a)^2 ,
n=1,2,dots , e autofunções
Passo 4
Para cada
lambdan , o ODE em
Y é
Y''-(npi/a)^2Y=0 cuja solução geral é
A condição
partial u/partial y|y=0=0 implica
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Passo 5
A superposição linear dá a série geral
Passo 6
Impondo
u(x,b)=f(x) obtemos
Reconhecendo série de Fourier-seno em
[0,a] , os coeficientes são