Resolva a equação de Lapalce para a temperatura em uma placa retangular sujeita às seguintes condições de contorno
u(0, y)=0 ; u(a, y)=0 ; partial upartial y|y=0=0 ; u(x, b)=f(x)

Passo 1

O problema é resolver a equação de Laplace
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0
numa placa retangular (0<= x<= a,;0<= y<= b) sujeita às condições de contorno
u(0,y)=0, u(a,y)=0, partial upartial y|y=0=0, u(x,b)=f(x)
O método será Separação de Variáveis: buscamos soluções da forma u(x,y)=X(x),Y(y).

Passo 2

Substituindo u(x,y)=X(x)Y(y) na equação de Laplace e dividindo por X(x)Y(y), obtemos
X''(x)X(x)+Y''(y)Y(y)=0 Longrightarrow X''(x)X(x)=-Y''(y)Y(y)=,-lambda,
onde lambda é constante de separação. Assim temos os dois ODEs
X''+lambda X=0, Y''-lambda Y=0

Passo 3

Impondo X(0)=0 e X(a)=0 no ODE X''+lambda X=0, obtemos autovalores
lambdan=(npi/a)^2, n=1,2,dots, e autofunções
Xn(x)=sin!l(tfracnpi xar)

Passo 4

Para cada lambdan, o ODE em Y é Y''-(npi/a)^2Y=0 cuja solução geral é
Yn(y)=Ancosh!l(tfracnpi yar)+Bnsinh!l(tfracnpi yar)
A condição partial u/partial y|y=0=0 implica
Yn'(0)=Annpiasinh(0)+Bnnpiacosh(0)=npiaBn=0 ;Longrightarrow;Bn=0,
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Yn(y)=Ancosh!l(tfracnpi yar)

Passo 5

A superposição linear dá a série geral
u(x,y)=sumn=1^inftyAn,sin!l(tfracnpi xar), cosh!l(tfracnpi yar)

Passo 6

Impondo u(x,b)=f(x) obtemos
f(x) =sumn=1^inftyAncosh!l(tfracnpi bar), sin!l(tfracnpi xar)
Reconhecendo série de Fourier-seno em [0,a], os coeficientes são
Ancosh!l(tfracnpi bar) =2aintegral0^af(s),sin!l(tfracnpi sar),ds ;Longrightarrow; An =2a,cosh!l(tfracnpi bar) integral0^af(s),sin!l(tfracnpi sar),ds

Resposta

boxed u(x,y) =sumn=1^infty gl[2a,cosh!l(tfracnpi bar) integral0^af(s),sin!l(tfracnpi sar),dsgr] sin!l(tfracnpi xar), cosh!l(tfracnpi yar)

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