As coordenadas de três pontos são dadas por A(-2 ; 2 ; 3), B(1 ; 0 ;-3) e C(1 ; 3 ;-1). Considere um vector C A=a, um outro B A=b, determine: a cdot b e a times b

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A(-2,2,3), B(1,0,-3), C(1,3,-1)
e define
a=CA e b=BA.
Queremos primeiro achar as componentes de a e b por subtração de coordenadas, depois usar a definição de produto escalar e produto vetorial para obter acdotb e atimesb.

Passo 2

Para encontrar a=CA subtraímos as coordenadas de C de A:
a = A - C = (-2-1,;2-3,;3-(-1)) = (-3,,-1,;4)

Passo 3

De modo semelhante,
b=BA=A-B, então
b = (-2-1,;2-0,;3-(-3)) = (-3,;2,;6)

Passo 4

O produto escalar é dado por
acdotb = axbx + ayby + azbz
Substituindo
acdotb = (-3)(-3) + (-1)(2) + (4)(6) = 9 - 2 + 24 = 31

Passo 5

O produto vetorial usa o determinante
atimesb = i & j & k [6pt] -3 & -1 & 4 [3pt] -3 & 2 & 6
Calculando por cofactores:
atimesb = il((-1)cdot6 - 4cdot2r) - jl((-3)cdot6 - 4cdot(-3)r) + kl((-3)cdot2 - (-1)cdot(-3)r)
Isso dá
atimesb = i(-6 - 8) - j(-18 + 12) + k(-6 - 3) = (-14,;6,;-9) ]

Resposta

acdotb=31 atimesb=(-14,,6,,-9)

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