Se
, justifique se
.
Passo 1
O enunciado afirma que
e pede para justificar se
.
O conteúdo aqui é monotonicidade da função raiz quadrada no intervalo , ou seja, mostrar que ela é crescente quando aplicada a números não negativos.
O conteúdo aqui é monotonicidade da função raiz quadrada no intervalo
Passo 2
Primeiro note que, se
, então imediatamente
logo
se mantém com igualdade.
Passo 3
Agora suponha
. Considere a diferença
Para analisá-la, multiplique e divida pela conjugada:
Passo 4
Como
e
(já que
em não negativos é
e aqui pelo menos uma raiz é positiva), segue que
Assim cobrimos o caso estrito
.
Resposta
Sim. Para todo
vale
, pois a função
é crescente em
.