Se 0 <= x <= y, justifique se raizx <= raizy.

Passo 1

O enunciado afirma que 0 <= x <= y e pede para justificar se raizx <= raizy.
O conteúdo aqui é monotonicidade da função raiz quadrada no intervalo [0,infty), ou seja, mostrar que ela é crescente quando aplicada a números não negativos.

Passo 2

Primeiro note que, se x=y, então imediatamente
raizx = raizy,
logo raizx <= raizy se mantém com igualdade.

Passo 3

Agora suponha 0 <= x < y. Considere a diferença
raizy - raizx
Para analisá-la, multiplique e divida pela conjugada:
raizy - raizx = (raizy - raizx)(raizy + raizx)raizy + raizx = y - xraizy + raizx

Passo 4

Como y - x > 0 e raizy + raizx > 0 (já que raizcdot em não negativos é >=0 e aqui pelo menos uma raiz é positiva), segue que
y - xraizy + raizx > 0 Longrightarrow raizy - raizx > 0 Longrightarrow raizx < raizy
Assim cobrimos o caso estrito x<y.

Resposta

Sim. Para todo 0 <= x <= y vale raizx<=raizy, pois a função raizcdot é crescente em [0,infty).

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