O coordenador do curso de reciclagem para motoristas, deseja saber qual é a proporção
de motoristas que excederam a velocidade em mais de
do valor máximo permitido, dentre os que tiveram a habilitação suspensa.
Quantas habilitações suspensas devem ser analisadas de modo que
seja estimado com um erro de no máximo 0,04, e com uma probabilidade de
?
Quantas habilitações suspensas devem ser analisadas de modo que
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir qual é a proporção $ p $ de motoristas que excederam a velocidade em mais de 50% do limite permitido, entre aqueles que tiveram a habilitação suspensa. Para isso, precisamos determinar quantas habilitações suspensas devem ser analisadas para que nossa estimativa de $ p $ tenha um erro máximo de 0,04 e uma probabilidade de 90%. Vamos usar conceitos de estatística de estimativa de proporção para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar da fórmula para o tamanho da amostra quando estamos estimando uma proporção. A fórmula é:
Onde:
- $ n $ é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
- $ Z $ é o valor crítico correspondente ao nível de confiança desejado.
- $ p $ é a proporção que queremos estimar.
- $ E $ é a margem de erro máxima permitida.
Passo 3
Como a proporção $ p $ que estamos querendo estimar é desconhecida, o melhor que podemos fazer é usar o valor que maximiza a expressão $ p \cdot (1 - p) $. Isso acontece quando $ p = 0,5 $. Usando $ p = 0,5 $ garantimos que nossa amostra seja conservadora, ou seja, suficientemente grande para qualquer valor real de $ p $.
Passo 4
Agora, vamos determinar o valor de $ Z $ correspondente a um nível de confiança de 90%. O valor de $ Z $ para 90% de confiança é 1,645. Esse valor vem da tabela da distribuição normal padrão.
Passo 5
Substituindo os valores que temos na fórmula:
Passo 6
Vamos calcular passo a passo:
- Calculando $ Z^2 $:
- Calculando $ p \cdot (1 - p) $:
- Multiplicando os dois resultados:
Passo 7
Agora, calculamos o denominador $ E^2 $:
Passo 8
Por fim, dividimos o numerador pelo denominador para encontrar $ n $:
Resposta
Portanto, devem ser analisadas aproximadamente 424 habilitações suspensas para estimar a proporção $ p $ com um erro máximo de 0,04 e uma confiança de 90%.