O coordenador do curso de reciclagem para motoristas, deseja saber qual é a proporção p de motoristas que excederam a velocidade em mais de 50 % do valor máximo permitido, dentre os que tiveram a habilitação suspensa.
Quantas habilitações suspensas devem ser analisadas de modo que p seja estimado com um erro de no máximo 0,04, e com uma probabilidade de 90 % ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir qual é a proporção $ p $ de motoristas que excederam a velocidade em mais de 50% do limite permitido, entre aqueles que tiveram a habilitação suspensa. Para isso, precisamos determinar quantas habilitações suspensas devem ser analisadas para que nossa estimativa de $ p $ tenha um erro máximo de 0,04 e uma probabilidade de 90%. Vamos usar conceitos de estatística de estimativa de proporção para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar da fórmula para o tamanho da amostra quando estamos estimando uma proporção. A fórmula é:
n = ( Z^2 cdot p cdot (1 - p)E^2 )
Onde:
  • $ n $ é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
  • $ Z $ é o valor crítico correspondente ao nível de confiança desejado.
  • $ p $ é a proporção que queremos estimar.
  • $ E $ é a margem de erro máxima permitida.

Passo 3

Como a proporção $ p $ que estamos querendo estimar é desconhecida, o melhor que podemos fazer é usar o valor que maximiza a expressão $ p \cdot (1 - p) $. Isso acontece quando $ p = 0,5 $. Usando $ p = 0,5 $ garantimos que nossa amostra seja conservadora, ou seja, suficientemente grande para qualquer valor real de $ p $.

Passo 4

Agora, vamos determinar o valor de $ Z $ correspondente a um nível de confiança de 90%. O valor de $ Z $ para 90% de confiança é 1,645. Esse valor vem da tabela da distribuição normal padrão.

Passo 5

Substituindo os valores que temos na fórmula:
n = ( (1,645)^2 cdot 0,5 cdot (1 - 0,5)(0,04)^2 )

Passo 6

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calculando $ Z^2 $:
Z^2
  1. Calculando $ p \cdot (1 - p) $:
(1,645)^2 approx 2,706
  1. Multiplicando os dois resultados:
p cdot (1 - p)

Passo 7

Agora, calculamos o denominador $ E^2 $:
E^2

Passo 8

Por fim, dividimos o numerador pelo denominador para encontrar $ n $:
n

Resposta

Portanto, devem ser analisadas aproximadamente 424 habilitações suspensas para estimar a proporção $ p $ com um erro máximo de 0,04 e uma confiança de 90%.

Exercícios relacionados