O coordenador do curso de reciclagem para motoristas, deseja saber qual é a proporção p de motoristas que excederam a velocidade em mais de 50 % do valor máximo permitido, dentre os que tiveram a habilitação suspensa.
Suponha que a pesquisa tenha sido realizada e que de 200 habilitações suspensas, 82 foram por exceder em mais de 50 % a velocidade máxima permitida. Dê uma estimativa pontual para p e, com base nela, construa um intervalo de 90 % de confiança para p.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir qual a proporção $ p $ de motoristas que passaram dos 50% da velocidade máxima permitida entre aqueles que tiveram a habilitação suspensa. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística, especificamente estimativa de proporção e intervalo de confiança.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma estimativa pontual para $ p $. Isso significa calcular a proporção de motoristas que excederam a velocidade nessa amostra.
Temos que:
  • Total de habilitações suspensas: 200
  • Número que excederam mais de 50% da velocidade: 82
Então, a estimativa pontual $ \hat{p} $ é:
p
Isso quer dizer que, na nossa amostra, 41% dos motoristas excederam a velocidade em mais de 50%.

Passo 3

Agora, vamos construir um intervalo de confiança de 90% para a verdadeira proporção $ p $. Isso nos dá uma faixa dentro da qual acreditamos que o valor real de $ p $ está, com 90% de certeza.
Para isso, usamos a fórmula do intervalo de confiança para proporções:
p
Onde:
  • $ \hat{p} $ é a estimativa pontual (0,41)
  • $ z $ é o valor crítico correspondente ao nível de confiança (90%)
  • $ n $ é o tamanho da amostra (200)

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar o valor de $ z $ para um intervalo de confiança de 90%. Olhando numa tabela de distribuição normal, encontramos que $ z \approx 1,645 $.
Agora, calculamos o erro padrão:
z

Passo 5

Em seguida, calculamos o margem de erro multiplicando o valor de $ z $ pelo erro padrão:
z

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da estimativa pontual:
0,41 pm 0,0571 Rightarrow (0,41 - 0,0571, , 0,41 + 0,0571) Rightarrow (0,3529, , 0,4671)
Arredondando para facilitar, podemos dizer que o intervalo de confiança é aproximadamente 35,3% a 46,7%.

Resposta

A estimativa pontual para $ p $ é 0,41 (ou 41%). Com base nisso, o intervalo de confiança de 90% para $ p $ é de aproximadamente 35,3% a 46,7%.

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