O coordenador do curso de reciclagem para motoristas, deseja saber qual é a proporção p de motoristas que excederam a velocidade em mais de 50 % do valor máximo permitido, dentre os que tiveram a habilitação suspensa.
Baseado em suas experiências, o coordenador sabe que essa proporção é de pelo menos 35 %. Usando esta informação, é possível diminuir o tamanho da amostra necessário para as exigências em (a)? Qual seria o tamanho da amostra neste caso?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema aqui é do campo da estatística, mais especificamente sobre estimação de proporção. O coordenador quer saber qual a proporção $ p $ de motoristas que excederam a velocidade em mais de 50% do limite permitido entre aqueles que tiveram a habilitação suspensa. Ele já sabe, com base na experiência, que pelo menos 35% dos motoristas se encaixam nessa situação. Vamos usar essa informação para ver se conseguimos diminuir o tamanho da amostra necessário e descobrir qual seria esse tamanho.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como calcular o tamanho da amostra para estimar uma proporção. A fórmula básica para o tamanho da amostra $ n $ é:
n
Onde:
  • $ Z $ é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança desejado.
  • $ p $ é a proporção estimada da característica de interesse.
  • $ E $ é a margem de erro máxima que estamos dispostos a aceitar.

Passo 3

Como o coordenador já sabe que pelo menos 35% dos motoristas excedem a velocidade, podemos usar $ p = 0,35 $ para calcular o tamanho da amostra. Isso ajuda a diminuir o tamanho necessário porque estamos usando a melhor estimativa possível para $ p $, o que maximiza a eficiência da amostra.

Passo 4

Vamos supor que o coordenador queira um nível de confiança de 95%. O valor $ Z $ correspondente a 95% de confiança é aproximadamente 1,96. Além disso, precisamos definir a margem de erro $ E $. Se não estiver especificada, vamos supor uma margem de erro de 5%, ou seja, $ E = 0,05 $.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:
n = (1,96)^2 cdot 0,35 cdot (1 - 0,35)(0,05)^2

Passo 6

Calculando passo a passo:
Primeiro, calculamos $ 1,96^2 $:
1,96^2
Depois, multiplicamos por $ p $ e $ (1 - p) $:
1,96^2 = 3,8416
Finalmente, dividimos pelo quadrado da margem de erro:
p

Resposta

O tamanho da amostra necessário é aproximadamente 349 motoristas.

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