Um copo em forma de cone invertido tem 15 cm de altura e 10 cm de diâmetro. É colocada água dentro do copo a uma taxa de 3 cm^3 / s. Com que rapidez varia o nível da água quando a profundidade da água é de 5 cm ? (Dica : a fórmula do volume do cone é pi r^2 h / 3.)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um copo que é um cone invertido com 15 cm de altura e 10 cm de diâmetro. Tá sendo colocado água nele a uma taxa de 3 , cm^3/s. A pergunta é: quando a profundidade da água é de 5 cm, quão rápido está subindo o nível da água?
Aqui, estamos lidando com taxas relacionadas, que é um tópico de cálculo que estuda como duas ou mais quantidades estão mudando ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do volume do cone e derivar em relação ao tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre o raio e a altura do cone. Sabemos que o cone todo tem 15 cm de altura e 10 cm de diâmetro, então o raio R é metade do diâmetro:
R = 102 = 5 , cm
Quando a água está no copo formando um cone menor, com altura h e raio r , esses valores estão relacionados proporcionalmente ao cone inteiro. Então, a razão entre r e h é a mesma que a razão entre R e a altura total do cone.

Passo 3

Vamos relacionar r e h usando proporções:
rh = RH = 515 = 13
Portanto, r = h3 .

Passo 4

Agora, vamos usar a fórmula do volume do cone:
V = 13 pi r^2 h
Substituindo r = h3 :
V = 13 pi (h3)^2 h = 13 pi h^39 = pi h^327

Passo 5

Queremos saber como a altura h está mudando em relação ao tempo, ou seja, dhdt , quando sabemos que dVdt = 3 , cm^3/s .
Vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo:
dVdt = ddt(pi h^327) = pi27 cdot 3h^2 cdot dhdt = pi h^29 cdot dhdt
Agora, isolamos dhdt :
dhdt = 9pi h^2 cdot dVdt
Substituindo os valores quando h = 5 , cm e dVdt = 3 , cm^3/s :
dhdt = 9pi (5)^2 cdot 3 = 925pi cdot 3 = 2725pi , cm/s

Resposta

Quando a profundidade da água é de 5 cm, o nível da água está subindo a uma taxa de 2725pi , cm/s, aproximadamente 0,343 , cm/s.

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