Um copo em forma de cone invertido tem 15 cm de altura e 10 cm de diâmetro. É colocada água dentro do copo a uma taxa de
. Com que rapidez varia o nível da água quando a profundidade da água é de 5 cm ? (Dica : a fórmula do volume do cone é
.)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um copo que é um cone invertido com 15 cm de altura e 10 cm de diâmetro. Tá sendo colocado água nele a uma taxa de
. A pergunta é: quando a profundidade da água é de 5 cm, quão rápido está subindo o nível da água?
Aqui, estamos lidando com taxas relacionadas, que é um tópico de cálculo que estuda como duas ou mais quantidades estão mudando ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do volume do cone e derivar em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre o raio e a altura do cone. Sabemos que o cone todo tem 15 cm de altura e 10 cm de diâmetro, então o raio
é metade do diâmetro:
Quando a água está no copo formando um cone menor, com altura
e raio
, esses valores estão relacionados proporcionalmente ao cone inteiro. Então, a razão entre
e
é a mesma que a razão entre
e a altura total do cone.
Passo 3
Vamos relacionar
e
usando proporções:
Portanto,
.
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula do volume do cone:
Substituindo
:
Passo 5
Queremos saber como a altura
está mudando em relação ao tempo, ou seja,
, quando sabemos que
.
Vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo:
Agora, isolamos
:
Substituindo os valores quando
e
:
Resposta
Quando a profundidade da água é de 5 cm, o nível da água está subindo a uma taxa de
, aproximadamente
.