Verifique que o vetor é uma solução particular do sistema dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o vetor Xp é uma solução particular do sistema de equações diferenciais dado. A matéria aqui é sobre sistemas de equações diferenciais lineares. Para resolver, vamos precisar substituir Xp no sistema e ver se as igualdades funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas de xp e yp em relação a t . Sabemos que:
Xp = 2t + 5 -t + 1
Então,
dxpdt = 2
dypdt = -1
Passo 3
Agora, vamos substituir xp = 2t + 5 e yp = -t + 1 nas equações do sistema:
Primeira equação:
dxdt = x + 4y + 2t - 7
Substituindo:
2 = (2t + 5) + 4(-t + 1) + 2t - 7
Simplificando:
2 = 2t + 5 - 4t + 4 + 2t - 7
2 = (2t - 4t + 2t) + (5 + 4 - 7)
2 = 0t + 2
2 = 2 checkmark
Segunda equação:
dydt = 3x + 2y - 4t - 18
Substituindo:
-1 = 3(2t + 5) + 2(-t + 1) - 4t - 18
Simplificando:
-1 = 6t + 15 - 2t + 2 - 4t - 18
-1 = (6t - 2t - 4t) + (15 + 2 - 18)
-1 = 0t - 1
-1 = -1 checkmark
Resposta
O vetor Xp = 2t + 5 -t + 1 é uma solução particular do sistema dado.