Mostre que 15 divide 2^4 n-1 para todo n >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que 15 divide $ 2^{4n} - 1 $ para todo número inteiro não negativo $ n $. Isso está relacionado à matéria de Teoria dos Números, mais especificamente sobre divisibilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como demonstrar que um número é divisor de outro, quebrando o problema em partes menores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se queremos provar que 15 divide $ 2^{4n} - 1 $, podemos simplificar a tarefa verificando se tanto 3 quanto 5 dividem $ 2^{4n} - 1 $. Isso porque 15 é o produto de 3 e 5, que são números primos entre si (ou seja, não têm fatores comuns além de 1).

Passo 3

Vamos começar verificando a divisibilidade por 3. Sabemos que para qualquer inteiro $ a $, se $ a \equiv b \mod 3 $, então $ a^k \equiv b^k \mod 3 $.
Observemos que $ 2 \equiv -1 \mod 3 $, então:
a
Como $ 4n $ é sempre par, temos:
a equiv b mod 3
Portanto:
a^k equiv b^k mod 3
Isso mostra que 3 divide $ 2^{4n} - 1 $.

Passo 4

Agora, vamos verificar a divisibilidade por 5. De maneira similar, sabemos que $ 2^4 = 16 \equiv 1 \mod 5 $.
Então:
2^4 = 16 equiv 1 mod 5
Logo:
2^4n = (2^4)^n equiv 1^n = 1 mod 5
Isso mostra que 5 também divide $ 2^{4n} - 1 $.

Resposta

Como 3 e 5 dividem $ 2^{4n} - 1 $ para todo $ n \geq 0 $ e esses números são coprimos, concluímos que 15 divide $ 2^{4n} - 1 $ para todo $ n \geq 0 $.

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