Mostre que 15 divide
para todo
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que 15 divide $ 2^{4n} - 1 $ para todo número inteiro não negativo $ n $. Isso está relacionado à matéria de Teoria dos Números, mais especificamente sobre divisibilidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como demonstrar que um número é divisor de outro, quebrando o problema em partes menores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se queremos provar que 15 divide $ 2^{4n} - 1 $, podemos simplificar a tarefa verificando se tanto 3 quanto 5 dividem $ 2^{4n} - 1 $. Isso porque 15 é o produto de 3 e 5, que são números primos entre si (ou seja, não têm fatores comuns além de 1).
Passo 3
Vamos começar verificando a divisibilidade por 3. Sabemos que para qualquer inteiro $ a $, se $ a \equiv b \mod 3 $, então $ a^k \equiv b^k \mod 3 $.
Observemos que $ 2 \equiv -1 \mod 3 $, então:
Como $ 4n $ é sempre par, temos:
Portanto:
Isso mostra que 3 divide $ 2^{4n} - 1 $.
Passo 4
Agora, vamos verificar a divisibilidade por 5. De maneira similar, sabemos que $ 2^4 = 16 \equiv 1 \mod 5 $.
Então:
Logo:
Isso mostra que 5 também divide $ 2^{4n} - 1 $.
Resposta
Como 3 e 5 dividem $ 2^{4n} - 1 $ para todo $ n \geq 0 $ e esses números são coprimos, concluímos que 15 divide $ 2^{4n} - 1 $ para todo $ n \geq 0 $.