Seja R a região do plano x y delimitada pelas curvas y=x-2 e x=y^2. Seja S o sólido obtido por rotação de R em torno do eixo y.
Expresse, por meio de uma integral, o volume de S, pelo método das cascas ou das fatias.

Passo 1

O enunciado define a região R como o conjunto de pontos do plano delimitado pela reta
y = x - 2
e pela parábola
x = y^2,
e pede o volume do sólido S obtido ao girar R em torno do eixo y.
Para montar a integral, precisamos primeiro achar os pontos de interseção das curvas e depois escolher um método (casca cilíndrica ou lâminas/discos).

Passo 2

Para encontrar as interseções, substituímos x = y^2 em y = x - 2:
y = y^2 - 2 Longrightarrow y^2 - y - 2 = 0 Longrightarrow (y-2)(y+1)=0
Logo ,y=-1 ou ,y=2. Correspondem aos pontos ,(1,-1) e ,(4,2).
Portanto y varia de -1 até 2.

Passo 3

Usando o método das lâminas (discos anelares) perpendicular ao eixo y, a seção em altura y é um anel de
raio externo
R(y)=xdireita=y+2
e raio interno
r(y)=xesquerda=y^2
A área desse anel é
pil[R(y)^2 - r(y)^2r] =pil[(y+2)^2 - (y^2)^2r] =pil[(y+2)^2 - y^4r]

Resposta

V ;=;integraly=-1^2pil[(y+2)^2 - y^4r];dy

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