Uma corda de 3,00 m de comprimento e presa pelas extremidades está vibrando, como uma onda estacionária com 4 nodos (contado as extremidades) e com amplitude de 1,00 cm. A velocidade de onda na corda é de 100 m / s. Determine: escreva as equações para as duas ondas que, quando combinadas, resultariam numa onda estacionária. y=0,5 sen[pi(x pm 100 t)]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de ondas estacionárias! A gente tem uma corda de 3 metros presa nas duas extremidades que está vibrando formando uma onda estacionária com 4 nodos (incluindo as pontas). A amplitude dessa onda é de 1 cm e a velocidade da onda na corda é de 100 m/s. Nosso objetivo é escrever as equações das duas ondas que, quando combinadas, resultam nessa onda estacionária. Para isso, vamos usar conceitos de ondas estacionárias, comprimento de onda e superposição de ondas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são nodos. Nodos são pontos na corda onde a amplitude da onda é sempre zero. Em uma onda estacionária, os nodos são fixos. Sabemos que o número de nodos é 4, incluindo as extremidades. Isso significa que temos 3 tramos entre os nodos.
A relação entre o comprimento da corda $ L $, o número de tramos $ n $ e o comprimento de onda $ \lambda $ é dada por:
L
Aqui, $ n = 3 $ (porque temos 3 tramos entre 4 nodos).

Passo 3

Vamos calcular o comprimento de onda $ \lambda $:
lambda
Agora, sabemos que a velocidade da onda $ v $ está relacionada com o comprimento de onda $ \lambda $ e a frequência $ f $ pela fórmula:
lambda = 2Ln = 2 times 3,00, m3 = 2,00, m
Vamos descobrir a frequência:
v

Passo 4

Em ondas estacionárias, a onda resultante é a superposição de duas ondas que se movem em direções opostas. A equação geral para uma onda é:
y(x, t) = A sin(kx pm omega t)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude,
  • $ k $ é o número de onda ($ k = \frac{2\pi}{\lambda} $),
  • $ \omega $ é a frequência angular ($ \omega = 2\pi f $).
Calculando $ k $ e $ \omega $:
A
k
Como queremos duas ondas que se movem em direções opostas e a amplitude combinada deve ser 1 cm, cada onda terá amplitude $ \frac{1,00, \mathrm{cm}}{2} = 0,5, \mathrm{cm} $.

Resposta

As equações das duas ondas são:
y1(x, t) = 0,5, cm cdot sin[pi x - 100 t]
y2(x, t) = 0,5, cm cdot sin[pi x + 100 t]
Quando combinadas, essas ondas resultam na onda estacionária na corda.

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