As vibrações de um diapasão de 600 Hz produzem ondas estacionárias numa corda que possui as duas extremidades fixas. A velocidade da onda ao longo da corda é igual a 400 m / s. A onda estacionária possui quatro voltas completas e uma amplitude igual a 2,0 mm. escreva a equação de deslocamento da corda em função do tempo e da posição. {y $\left.=\left(2 \times 10^{-3} \mathrm{~m}\right) \operatorname{sen}\left[\left(30 \pi \mathrm{~m}^{-1}\right) \mathrm{x}\right] \cos \left[\left(1200 \pi \mathrm{~s}^{-1}\right) \mathrm{t}\right]\right}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um diapasão que vibra a 600 Hz e cria ondas estacionárias numa corda com as duas extremidades fixas. A velocidade da onda na corda é de 400 m/s, e a onda tem quatro voltas completas com uma amplitude de 2,0 mm. Nosso objetivo é escrever a equação de deslocamento da corda em função do tempo e da posição. Para isso, vamos usar conceitos de ondas estacionárias, frequência, velocidade da onda e amplitude.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em ondas estacionárias com extremidades fixas, os pontos onde a corda não se move são chamados de nós, e os pontos de máxima oscilação são os ventres. A quantidade de voltas completas na corda nos dá informações sobre os modos da onda.

Passo 3

Sabemos que a frequência $ f $ do diapasão é 600 Hz, e a velocidade da onda $ v $ é 400 m/s. A relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda $ \lambda $ é dada por:
f
Vamos rearranjar para encontrar $ \lambda $:
v

Passo 4

A onda estacionária possui quatro voltas completas, o que significa que o comprimento da corda $ L $ é igual a 4 vezes meio comprimento de onda (pois cada volta completa corresponde a meio comprimento de onda):
L
Já que $ \lambda = \frac{2}{3} , m $, então:
L = 4 times lambda2 = 2lambda
Isso confirma que estamos no quarto modo de vibração.

Passo 5

A equação geral de uma onda estacionária é:
y(x, t) = A sin(kx) cos(omega t)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude da onda.
  • $ k $ é o número de onda.
  • $ \omega $ é a frequência angular.

Passo 6

Vamos calcular o número de onda $ k $ usando a relação:
k

Passo 7

Agora, a frequência angular $ \omega $ é relacionada à frequência $ f $ por:
omega

Passo 8

A amplitude $ A $ é dada como 2,0 mm, que convertendo para metros fica:
A

Passo 9

Agora, substituímos todos os valores na equação geral:
y(x, t) = (2 times 10^-3 , m) sin(3pi x) cos(1200pi t)

Resposta

A equação de deslocamento da corda é:
y(x, t) = (2 times 10^-3 , m) sin(3pi x) cos(1200pi t)

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