Uma corda é amarrada a um barco, distante 20 m de um cais, ao nível do mar. Um homem no cais puxa a corda a uma velocidade constante de 18 \mathrm{~m} / \mathrm{min}. As mãos do homem se mantêm a 3,5 \mathrm{~m} do nível da água. Calcule a velocidade com que o barco se aproxima do cais, quando o comprimento da corda já puxada é de 7 m .

Passo 1

O enunciado descreve um barco preso a uma corda cujo ponto de amarração está a 3,5 m acima do nível da água no cais. A corda tem comprimento s e a projeção horizontal da distância entre barco e cais é x. Quando o homem puxa a corda, seu comprimento diminui a uma taxa constante de 18 m/min. O objetivo é encontrar a taxa com que x diminui (velocidade de aproximação do barco) no instante em que s=7 m. Vamos usar o Teorema de Pitágoras e derivação implícita (taxas relacionadas).

Passo 2

Pelo Teorema de Pitágoras, a relação entre x, a altura fixa y=3,5 m e o comprimento da corda s é
x^2 + y^2 = s^2.

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação ao tempo t, e lembrando que y é constante, obtemos
2x\,\frac{dx}{dt} + 0 = 2s\,\frac{ds}{dt}.
Isolando \frac{dx}{dt},
\frac{dx}{dt} = \frac{s}{x}\,\frac{ds}{dt}.

Passo 4

No instante em que s=7 m, calculamos x pela equação x^2 = s^2 - y^2:
x = \sqrt{7^2 - 3{,}5^2} = \sqrt{49 - 12{,}25} = \sqrt{36{,}75} = \frac{7\sqrt{3}}{2} \approx 6{,}062\text{ m}.
Como a corda está sendo puxada, seu comprimento diminui a 18 m/min, ou seja \tfrac{ds}{dt} = -18 m/min. Substituindo em \frac{dx}{dt},
\frac{dx}{dt} = \frac{7}{6{,}062}\,\bigl(-18\bigr) \approx -20{,}8\text{ m/min}.

Resposta

A velocidade com que o barco se aproxima do cais, quando s=7 m, é aproximadamente 20{,}8 m/min.

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