Uma corda é amarrada a um barco, distante 20 m de um cais, ao nível do mar. Um homem no cais puxa a corda a uma velocidade constante de
. As mãos do homem se mantêm a
do nível da água. Calcule a velocidade com que o barco se aproxima do cais, quando o comprimento da corda já puxada é de 7 m .
Passo 1
O enunciado descreve um barco preso a uma corda cujo ponto de amarração está a
m acima do nível da água no cais. A corda tem comprimento
e a projeção horizontal da distância entre barco e cais é
. Quando o homem puxa a corda, seu comprimento diminui a uma taxa constante de
m/min. O objetivo é encontrar a taxa com que
diminui (velocidade de aproximação do barco) no instante em que
m. Vamos usar o Teorema de Pitágoras e derivação implícita (taxas relacionadas).
Passo 2
Pelo Teorema de Pitágoras, a relação entre
, a altura fixa
m e o comprimento da corda
é
Passo 3
Derivando ambos os lados em relação ao tempo
, e lembrando que
é constante, obtemos
Isolando
,
Passo 4
No instante em que
m, calculamos
pela equação
:
Como a corda está sendo puxada, seu comprimento diminui a
m/min, ou seja
m/min. Substituindo em
,
Resposta
A velocidade com que o barco se aproxima do cais, quando
m, é aproximadamente
m/min.