Verifique que o Teorema do Valor Médio não se aplica à função f(x)=x^{2 / 3} no intervalo [-1,1]. Justifique.
21) Calcule um valor aproximado para \sqrt[3]{63,5}, usando diferencial.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Mostrar que o Teorema do Valor Médio (TVM) não vale para a função f(x)=x^{2/3} em [-1,1].
  2. Aproximar \sqrt[3]{63,5} usando diferencial.
    Isso envolve conceitualmente o TVM (continuidade em [-1,1] e diferenciabilidade em (-1,1)) e o uso de linearização via diferencial.

Passo 2

Verificamos as hipóteses do TVM para f(x)=x^{2/3}:
  • Em todo ponto de [-1,1], x^{2/3} é contínua, pois é composta de funções contínuas.
  • A derivada é
f'(x)=\frac{2}{3}\,x^{-1/3}.
Esse f'(x) não está definido em x=0, pois x^{-1/3} explodiria. Logo, f não é diferenciável em 0, que pertence ao intervalo aberto (-1,1).

Passo 3

Como falta diferenciabilidade em x=0, uma hipótese essencial do TVM não se satisfaz. Portanto, não é possível aplicar o Teorema do Valor Médio a f em [-1,1].

Passo 4

Para aproximar \sqrt[3]{63,5}, definimos
g(x)=x^{1/3},
e escolhemos um ponto próximo cujo valor exato sabemos, por exemplo a=64. Então
g(64)=4,
e
g'(x)=\frac{1}{3}\,x^{-2/3} \quad\Longrightarrow\quad g'(64)=\frac{1}{3}\cdot 64^{-2/3}=\frac{1}{3\cdot 16}=\frac{1}{48}.
Chamamos \Delta x=63,5-64=-0,5.

Passo 5

A aproximação por diferencial (linearização) diz
g(63,5)\approx g(64)+g'(64)\,\Delta x =4+\frac{1}{48}\cdot(-0,5) =4-\frac{0,5}{48} =4-\frac{1}{96}\approx 4-0,0104=3,9896.

Resposta

O Teorema do Valor Médio não se aplica a f(x)=x^{2/3} em [-1,1] porque f falha em ser diferenciável em x=0.
Usando diferencial,
\sqrt[3]{63,5}\approx 3,9896.

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