Escreva a equação da reta tangente ao gráfico de x^{3}+x y+4=0 no ponto (2,-6).

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^{3} + x\,y + 4 = 0
e pede a reta tangente no ponto (2,-6). Para isso, vamos usar derivação implícita para encontrar a inclinação m = \frac{dy}{dx} naquele ponto e depois montar a equação da reta tangente usando
y - y_{0} = m\,(x - x_{0}).

Passo 2

Derivando ambos os lados de
x^{3} + x\,y + 4 = 0
em relação a x, temos
\frac{d}{dx}(x^{3}) + \frac{d}{dx}(x\,y) + \frac{d}{dx}(4) = 0.
Como \frac{d}{dx}(x^{3}) = 3x^{2}, \frac{d}{dx}(4)=0 e, pelo produto,
\frac{d}{dx}(x\,y) = x\,\frac{dy}{dx} + y\cdot 1,
a derivada implícita fica
3x^{2} + y + x\,\frac{dy}{dx} = 0.

Passo 3

Isolando \frac{dy}{dx}, obtemos
x\,\frac{dy}{dx} = -\bigl(3x^{2} + y\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = -\frac{3x^{2} + y}{x}.

Passo 4

No ponto (2,-6), substituímos x=2 e y=-6:
\frac{dy}{dx}\Bigg|_{(2,-6)} = -\frac{3\cdot 2^{2} + (-6)}{2} = -\frac{12 - 6}{2} = -\frac{6}{2} = -3.
Logo, a inclinação da tangente é m=-3.

Passo 5

Usando a fórmula da reta tangente em (x_{0},y_{0})=(2,-6):
y - (-6) = -3\,(x - 2),
isto é,
y + 6 = -3x + 6 \quad\Longrightarrow\quad y = -3x.

Resposta

A reta tangente é
y = -3x.

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