Mostre que 3 x^{5}+5 x^{3}+15 x+1=0 tem uma única raiz real.
20) Verifique que o Teorema do Valor Médio não se aplica à função f(x)=x^{2 / 3} no intervalo [-1,1]. Justifique.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos duas tarefas.
A) Mostrar que a equação
3x^{5}+5x^{3}+15x+1=0
possui exatamente uma raiz real. Aqui vamos usar cálculo: derivada, monotonicidade e o Teorema de Bolzano.
B) Verificar que o Teorema do Valor Médio não se aplica à função
f(x)=x^{2/3}
no intervalo [-1,1]. Para isso, vamos checar as hipóteses do Teorema (continuidade e diferenciabilidade) e ver onde falha.

Passo 2

Considere
p(x)=3x^{5}+5x^{3}+15x+1.
Calculamos a derivada:
p'(x)=15x^{4}+15x^{2}+15=15\bigl(x^{4}+x^{2}+1\bigr).
Como para todo x\in\mathbb{R} temos x^{4}\ge0 e x^{2}\ge0, conclui-se que
x^{4}+x^{2}+1>0,
logo p'(x)>0 em toda reta real. Portanto, p é estritamente crescente.

Passo 3

Por ser estritamente crescente, p é injetora e pode ter no máximo uma raiz real. Para ver que existe exatamente uma, note os limites:
\lim_{x\to-\infty}p(x)=-\infty, \qquad \lim_{x\to+\infty}p(x)=+\infty.
Pelo Teorema de Bolzano, há algum c\in\mathbb{R} com p\text{(c)}=0. Como não pode haver outra raiz, concluímos que existe uma e só uma solução real.

Passo 4

Agora f(x)=x^{2/3} em [-1,1].
  1. f é contínua em [-1,1] (é composição de potência racional de expoente positivo).
  2. Para aplicar o Teorema do Valor Médio precisaríamos que f fosse diferenciável em (-1,1). Para x\neq0,
f'(x)=\frac{2}{3}\,x^{-1/3},
mas em x=0 essa expressão não faz sentido (tende a infinito). Logo f não é diferenciável em 0.
Como falta diferenciabilidade em todo o intervalo aberto, as hipóteses do Teorema do Valor Médio não se satisfazem e ele não se aplica.

Resposta

A equação 3x^{5}+5x^{3}+15x+1=0 tem exatamente uma raiz real.
O Teorema do Valor Médio não se aplica a f(x)=x^{2/3} em [-1,1] porque f não é diferenciável em x=0.

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