Mostre que
tem uma única raiz real.
20) Verifique que o Teorema do Valor Médio não se aplica à função
no intervalo
. Justifique.
20) Verifique que o Teorema do Valor Médio não se aplica à função
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos duas tarefas.
A) Mostrar que a equação
A) Mostrar que a equação
possui exatamente uma raiz real. Aqui vamos usar cálculo: derivada, monotonicidade e o Teorema de Bolzano.
B) Verificar que o Teorema do Valor Médio não se aplica à função
B) Verificar que o Teorema do Valor Médio não se aplica à função
no intervalo
. Para isso, vamos checar as hipóteses do Teorema (continuidade e diferenciabilidade) e ver onde falha.
Passo 2
Considere
Calculamos a derivada:
Como para todo
temos
e
, conclui-se que
logo
em toda reta real. Portanto,
é estritamente crescente.
Passo 3
Por ser estritamente crescente,
é injetora e pode ter no máximo uma raiz real. Para ver que existe exatamente uma, note os limites:
Pelo Teorema de Bolzano, há algum
com
. Como não pode haver outra raiz, concluímos que existe uma e só uma solução real.
Passo 4
Agora
em
.
-
é contínua em (é composição de potência racional de expoente positivo). - Para aplicar o Teorema do Valor Médio precisaríamos que
fosse diferenciável em . Para ,
mas em
essa expressão não faz sentido (tende a infinito). Logo
não é diferenciável em 0.
Como falta diferenciabilidade em todo o intervalo aberto, as hipóteses do Teorema do Valor Médio não se satisfazem e ele não se aplica.
Como falta diferenciabilidade em todo o intervalo aberto, as hipóteses do Teorema do Valor Médio não se satisfazem e ele não se aplica.
Resposta
A equação
tem exatamente uma raiz real.
O Teorema do Valor Médio não se aplica a em
porque
não é diferenciável em
.
O Teorema do Valor Médio não se aplica a