Determine b e c na equação x^{2}+b x y+y^{3}=c de uma curva, de modo que a reta y=-2 x+3 seja tangente à curva em (1,1).

Passo 1

A curva é dada por
x^{2}+bxy+y^{3}=c
e queremos que a reta
y=-2x+3
seja tangente a ela no ponto (1,1).
Conteúdo:
– Para que (1,1) esteja na curva, basta substituir na equação e relacionar b e c.
– Para que a reta seja tangente, igualamos o coeficiente angular da reta ( -2) à derivada \tfrac{dy}{dx} da curva em (1,1), obtida por derivação implícita.

Passo 2

Impondo que (1,1) pertence à curva, temos
1^{2}+b\cdot1\cdot1+1^{3}=c
ou seja
c = 1 + b + 1 = b + 2.

Passo 3

Agora, derivamos implicitamente
x^{2}+bxy+y^{3}=c.
Derivando em relação a x:
– de x^{2} vem 2x,
– de bxy vem b\,(x\,\tfrac{dy}{dx}+y),
– de y^{3} vem 3y^{2}\,\tfrac{dy}{dx},
– de c vem 0.
Assim
2x + b\,(x\,y'+y) + 3y^{2}y'=0
onde escrevemos y'=\tfrac{dy}{dx}. Agrupando os termos em y':
(bx+3y^{2})\,y' + (2x + b\,y)=0
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y' = -\frac{2x + b\,y}{b\,x + 3y^{2}}.

Passo 4

No ponto (1,1) deve valer y'=-2. Substituindo x=1 e y=1:
-2 = -\frac{2\cdot1 + b\cdot1}{b\cdot1 + 3\cdot1^{2}} = -\frac{2 + b}{b + 3}.
Cancelando o sinal negativo:
\frac{2 + b}{b + 3} = 2 \quad\Longrightarrow\quad 2 + b = 2(b + 3) = 2b + 6 \quad\Longrightarrow\quad b = -4.
Então, de c=b+2 vem
c = -4 + 2 = -2.

Resposta

b = -4 e c = -2.

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