1. Uma corda amarrada nas extremidades é posta para oscilar sendo a amplitude de 2,0 \mathrm{~cm}, o periodo de 1,0 \mathrm{~s} e o comprimento de onda de 2,5 \mathrm{~cm}. Escreva a equação da onda estacionária formada.
  2. Uma corda de 0,50 \mathrm{~m} de comprimento e 0,25 \mathrm{~kg} de massa é tensionada por uma força de 2,0 \mathrm{~N}. Sabendo que a onda estacionária formada oscila no segundo harmônico, determine a frequência da oscilação

Passo 1

O enunciado 08 nos dá uma corda presa nas duas extremidades que forma uma onda estacionária de amplitude 2{,}0,cm, período 1{,}0,s e comprimento de onda 2{,}5,cm. Queremos a equação da onda estacionária do tipo
y(x,t)=A\,\sin(kx)\,\cos(\omega t),
onde A é a amplitude, k é o número de onda e \omega a frequência angular.

Passo 2

Convertendo unidades para o sistema SI:
A=2{,}0\text{ cm}=0{,}02\text{ m},\quad \lambda=2{,}5\text{ cm}=0{,}025\text{ m}.

Passo 3

O período é T=1{,}0,s, então a frequência angular é
\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1{,}0} = 2\pi\\ \text{rad/s}.

Passo 4

O número de onda é
k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}025} = 80\pi\\ \text{rad/m}.

Passo 5

Substituindo em y(x,t)=A\sin(kx)\cos(\omega t), obtemos
y(x,t)=0{,}02\,\sin\bigl(80\pi\,x\bigr)\,\cos\bigl(2\pi\,t\bigr),
com y em metros, x em metros e t em segundos.

Passo 6

O enunciado 09 nos dá uma corda de comprimento L=0{,}50,m e massa m=0{,}25,kg sob tensão T=2{,}0,N, formando a segunda harmônica. Precisamos da frequência f.

Passo 7

Calculamos a densidade linear
\mu = \frac{m}{L} = \frac{0{,}25}{0{,}50} = 0{,}5\\ \text{kg/m}.

Passo 8

A velocidade da onda na corda é
v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{2{,}0}{0{,}5}} = 2{,}0\\ \text{m/s}.

Passo 9

Para o segundo harmônico ( n=2) em corda com ambas extremidades fixas,
f_2 = \frac{n\,v}{2L} = \frac{2\cdot 2{,}0}{2\cdot 0{,}50} = 4{,}0\\ \text{Hz}.

Resposta

f = 4{,}0\\ \text{Hz}.

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