Prove que se um objeto estiver flutuando e apenas uma parte do seu volume tiver submerso em um fluido, então sua densidade \rho_{o} é menor que a densidade \rho_{f} do fluido.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, quando um corpo flutua com apenas parte do seu volume imersa em um fluido, a densidade do corpo \rho_{o} é menor que a densidade do fluido \rho_{f}. O conteúdo de física envolvido é o Princípio de Arquimedes, que relaciona a força de empuxo ao peso do fluido deslocado.

Passo 2

Segundo o Princípio de Arquimedes, a força de empuxo E que age para cima sobre o corpo é igual ao peso do volume de fluido deslocado. Se V_{\text{sub}} é o volume imerso do corpo, então
E = \rho_{f} \cdot V_{\text{sub}} \cdot g,
onde g é a aceleração da gravidade.

Passo 3

Em equilíbrio de flutuação, o empuxo para cima equilibra exatamente o peso do corpo para baixo. O peso do corpo é dado por
P = \rho_{o}\,V_{o}\,g,
sendo V_{o} o volume total do corpo. Portanto, em repouso temos
\rho_{o}\,V_{o}\,g \;=\; \rho_{f}\,V_{\text{sub}}\,g.

Passo 4

Simplificando g em ambos os lados, obtemos
\rho_{o}\,V_{o} \;=\; \rho_{f}\,V_{\text{sub}}.
Como o corpo está apenas parcialmente submerso, V_{\text{sub}} < V_{o}. Dividindo ambos os lados por V_{o}, vem
\rho_{o} \;=\; \rho_{f}\,\frac{V_{\text{sub}}}{V_{o}} \;<\; \rho_{f}\,\frac{V_{o}}{V_{o}} \;=\;\rho_{f}.

Resposta

Portanto, concluímos que
\rho_{o} < \rho_{f}.

Exercícios relacionados