Determinar a equação da circunferência cujo centro esta sobre o eixo Y e passa pelos pontos A=(2,2) e B=(6,-4).

Passo 1

Resumindo: queremos a circunferência com centro sobre o eixo Y (logo de forma (0,c)) que passe pelos pontos A=(2,2) e B=(6,-4). O conteúdo aqui é geometria analítica de circunferências: usamos a igualdade de distâncias do centro a cada ponto.

Passo 2

Se o centro for C=(0,c), então pela definição de circunferência temos
CA^2 ;=;CB^2 Longrightarrow (2-0)^2 + (2 - c)^2 ;=; (6-0)^2 + (-4 - c)^2

Passo 3

Expandindo ambos os lados:
4 + (2-c)^2 = 36 + (-4-c)^2 ;Longrightarrow; 4 + (c^2 - 4c + 4) = 36 + (c^2 + 8c + 16)
c^2 - 4c + 8 = c^2 + 8c + 52 ;Longrightarrow; -12c = 44 ;Longrightarrow; c = -113

Passo 4

Agora calculamos o raio ao quadrado usando A:
r^2 = (2-0)^2 + l(2 - l(-tfrac113r)r)^2 = 4 + l(tfrac173r)^2 = 4 + tfrac2899 = tfrac3259

Resposta

A equação da circunferência é
x^2 + l(y + tfrac113r)^2 ;=; tfrac3259

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