Uma corda com comprimento
e densidade de massa por comprimento
é suspenso verticalmente a partir de uma das extremidades. a) Determine a tensão na em função do comprimento da corda.
b) Após resolver esse exercício, por qual motivo consideramos cordas ideais em muitos problemas?
b) Após resolver esse exercício, por qual motivo consideramos cordas ideais em muitos problemas?
Passo 1
Temos uma corda uniforme de comprimento
e densidade linear de massa
suspensa verticalmente por uma de suas extremidades. O objetivo do item (a) é encontrar a tensão
em um ponto da corda, em função da coordenada
ao longo dela. Para isso, usaremos o equilíbrio estático de um elemento infinitesimal da corda.
Passo 2
Escolhemos a origem
na extremidade livre (inferior) da corda e medimos
para cima, até
na extremidade presa. Em
a tensão é
.
Passo 3
Considere um pequeno trecho de corda entre
e
. Sobre esse trecho atuam:
– Para cima, a tensão .
– Para baixo, a tensão e o peso
.
Como está em equilíbrio, a soma vetorial das forças é zero, isto é,
– Para cima, a tensão
– Para baixo, a tensão
Como está em equilíbrio, a soma vetorial das forças é zero, isto é,
Passo 4
Reescrevendo o equilíbrio como
e passando ao limite
, obtemos a equação diferencial
Passo 5
Integramos em
:
Para determinar a constante
, usamos a condição de contorno na extremidade livre: não há tensão na ponta solta, logo
. Assim
e
Passo 6
Em muitos problemas de mecânica adotamos “cordas ideais” (isto é, sem massa e inextensíveis) porque isso simplifica muito as contas:
– A tensão é a mesma em toda a corda, sem depender da posição.
– Não precisamos levar em conta o peso nem a deformação da própria corda.
Isso reduz equações e facilita achar forças de tração e acelerações nos sistemas.
– A tensão é a mesma em toda a corda, sem depender da posição.
– Não precisamos levar em conta o peso nem a deformação da própria corda.
Isso reduz equações e facilita achar forças de tração e acelerações nos sistemas.
Resposta
a)
.
b) Porque, ao desprezar massa e elasticidade da corda, a tensão torna-se uniforme e a análise fica muito mais simples.
b) Porque, ao desprezar massa e elasticidade da corda, a tensão torna-se uniforme e a análise fica muito mais simples.