Uma corda com comprimento l e densidade de massa por comprimento lambda é suspenso verticalmente a partir de uma das extremidades. a) Determine a tensão na em função do comprimento da corda.
b) Após resolver esse exercício, por qual motivo consideramos cordas ideais em muitos problemas?

Passo 1

Temos uma corda uniforme de comprimento l e densidade linear de massa lambda suspensa verticalmente por uma de suas extremidades. O objetivo do item (a) é encontrar a tensão T em um ponto da corda, em função da coordenada x ao longo dela. Para isso, usaremos o equilíbrio estático de um elemento infinitesimal da corda.

Passo 2

Escolhemos a origem x=0 na extremidade livre (inferior) da corda e medimos x para cima, até x=l na extremidade presa. Em x a tensão é T(x).

Passo 3

Considere um pequeno trecho de corda entre x e x+dx. Sobre esse trecho atuam:
– Para cima, a tensão T(x+dx).
– Para baixo, a tensão T(x) e o peso lambda,dxcdot g.
Como está em equilíbrio, a soma vetorial das forças é zero, isto é,
T(x+dx)-T(x)-lambda,g,dx=0

Passo 4

Reescrevendo o equilíbrio como
T(x+dx)-T(x)=lambda,g,dx
e passando ao limite dxto0, obtemos a equação diferencial
dTdx=lambda,g

Passo 5

Integramos em x:
T(x)=integral lambda,g,dx=lambda,g,x + C
Para determinar a constante C, usamos a condição de contorno na extremidade livre: não há tensão na ponta solta, logo T(0)=0. Assim C=0 e
T(x)=lambda,g,x, 0<= x<= l

Passo 6

Em muitos problemas de mecânica adotamos “cordas ideais” (isto é, sem massa e inextensíveis) porque isso simplifica muito as contas:
– A tensão é a mesma em toda a corda, sem depender da posição.
– Não precisamos levar em conta o peso nem a deformação da própria corda.
Isso reduz equações e facilita achar forças de tração e acelerações nos sistemas.

Resposta

a) T(x)=lambda,g,x.
b) Porque, ao desprezar massa e elasticidade da corda, a tensão torna-se uniforme e a análise fica muito mais simples.

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