Em uma corda de densidade linear igual a 0,1 \mathrm{Kg} / \mathrm{m} e sujeita e uma tensão de 250 N é gerada uma onda transversal com uma amplitude de 0,15 \mathrm{~m} e unza frequência de 100 Hz , que se propaga no sentido positivo do eixo do x.
a) escreva a equação dessa onda, supondo que para \lambda=0 e t=0 o valor de y=0.
b) Determine a expressão da velocidade de oscilação das partículas da corda, bem como seu valor máximo.

Passo 1

Vamos listar com calma o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda). Os dados fornecidos são:
  • densidade linear da corda: \mu = 0{,}1\\ \mathrm{kg/m};
  • tensão na corda: T = 250\\ \mathrm{N};
  • amplitude da onda: A = 0{,}15\\ \mathrm{m};
  • frequência: f = 100\\ \mathrm{Hz};
  • a onda se propaga no sentido positivo do eixo x;
  • condição inicial: para \,x=0 e t=0 tem y=0.
O enunciado pede:
(a) escrever a equação da onda transversal (satisfazendo a condição y(0,0)=0);
(b) determinar a expressão da velocidade de oscilação (transversal) das partículas da corda e o seu valor máximo.

Passo 2

Qual a forma genérica de uma onda transversal que se propaga para +x? Uma forma muito usada é
y(x,t)=A\sin\!\bigl(kx-\omega t+\varphi\bigr),
onde:
  • A é a amplitude (máxima deflexão) em metros;
  • k é o número de onda, medido em radianos por metro, e relaciona-se com o comprimento de onda \lambda por \,k=\dfrac{2\pi}{\lambda};
  • \omega é a frequência angular, em rad/s, relacionada com a frequência f por \,\omega=2\pi f;
  • \varphi é a fase inicial (ângulo em radianos) que ajusta a posição da onda em t=0;
  • o sinal kx-\omega t indica propagação no sentido positivo de x.
Outra relação importante é entre velocidade de propagação v, \omega e k:
v=\frac{\omega}{k}=f\lambda.
Para uma corda tensa a velocidade de propagação também é dada por
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde T é a tensão e \mu a massa por unidade de comprimento. Essa última fórmula vem da equação de ondas para cordas; ela diz que quanto maior a tensão, mais rápida a onda, e quanto maior a massa por metro, mais lenta.

Passo 3

Calcular a velocidade de propagação usando a fórmula da corda:
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}=\sqrt{\frac{250}{0{,}1}}=\sqrt{2500}=50\\ \mathrm{m/s}.
Expliquei: coloquei T=250 e \mu=0{,}1 e calculei a raiz quadrada; o resultado é 50\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Agora uso v=f\lambda para achar \lambda:
\lambda=\frac{v}{f}=\frac{50}{100}=0{,}5\\ \mathrm{m}.
Com \lambda temos o número de onda k e a frequência angular \omega:
k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{0{,}5}=4\pi\\ \mathrm{rad/m},
\omega=2\pi f=2\pi\cdot100=200\pi\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Agora impomos a condição inicial y(0,0)=0. Na forma geral y(0,0)=A\sin(\varphi), logo
A\sin(\varphi)=0 \quad\Rightarrow\quad \sin(\varphi)=0.
As soluções são \varphi = n\pi com n inteiro. Podemos escolher a fase mais simples \varphi=0 (isso produz uma onda que passa por zero em x=0,t=0 com a forma padrão). Observação: escolher \varphi=\pi também satisfaria a condição, só trocaria o sinal da função, mas ambas representam ondas válidas; escolho \varphi=0 por simplicidade.
Substituindo todos os valores em \,y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi) com \varphi=0, A=0{,}15, k=4\pi e \omega=200\pi, obtemos a equação da onda:
y(x,t)=0{,}15\sin\!\bigl(4\pi x-200\pi t\bigr)\\ \text{(metros)}.

Passo 6

Agora vamos achar a velocidade de oscilação (transversal) das partículas da corda. Isso é a derivada parcial de y em relação ao tempo t, porque cada partícula em posição x tem deslocamento y(x,t) que varia com t. Calculemos:
v_y(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}(x,t).
Tomando a derivada de y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi) em relação a t:
\frac{\partial}{\partial t}\sin(kx-\omega t+\varphi)=\cos(kx-\omega t+\varphi)\cdot\frac{\partial}{\partial t}(kx-\omega t+\varphi) =\cos(kx-\omega t+\varphi)\cdot(-\omega).
Portanto
v_y(x,t)=-A\omega\cos(kx-\omega t+\varphi).
Substituindo os valores numéricos e \varphi=0:
v_y(x,t)=-0{,}15\cdot(200\pi)\cos\!\bigl(4\pi x-200\pi t\bigr)=-30\pi\cos\!\bigl(4\pi x-200\pi t\bigr)\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Qual é o valor máximo da velocidade transversal? A função \cos(\cdot) varia entre -1 e 1, então o módulo máximo de v_y é
v_{y,\max}=A\omega.
Calculando numericamente:
v_{y,\max}=0{,}15\cdot 200\pi=30\pi\\ \mathrm{m/s}\approx 94{,}248\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação física rápida: esse número é a maior velocidade instantânea que qualquer partícula da corda atinge enquanto oscila — parece grande, mas faz sentido porque a frequência é alta ( 100\\ \mathrm{Hz}) e a amplitude é relativamente grande ( 0{,}15\\ \mathrm{m}).

Resposta

y(x,t)=0{,}15\sin\!\bigl(4\pi x-200\pi t\bigr)\\ \mathrm{m}
v_y(x,t)=-30\pi\cos\!\bigl(4\pi x-200\pi t\bigr)\\ \mathrm{m/s},\quad v_{y,\max}=30\pi\\ \mathrm{m/s}\approx94{,}25\\ \mathrm{m/s}

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