Em uma corda de densidade linear igual a
e sujeita e uma tensão de 250 N é gerada uma onda transversal com uma amplitude de
e unza frequência de 100 Hz , que se propaga no sentido positivo do eixo do
.
a) escreva a equação dessa onda, supondo que para
e
o valor de
.
b) Determine a expressão da velocidade de oscilação das partículas da corda, bem como seu valor máximo.
a) escreva a equação dessa onda, supondo que para
b) Determine a expressão da velocidade de oscilação das partículas da corda, bem como seu valor máximo.
Passo 1
Vamos listar com calma o que o enunciado nos dá e o que ele pede (sem resolver ainda). Os dados fornecidos são:
- densidade linear da corda:
; - tensão na corda:
; - amplitude da onda:
; - frequência:
; - a onda se propaga no sentido positivo do eixo
; - condição inicial: para
e tem .
O enunciado pede:
(a) escrever a equação da onda transversal (satisfazendo a condição );
(b) determinar a expressão da velocidade de oscilação (transversal) das partículas da corda e o seu valor máximo.
(a) escrever a equação da onda transversal (satisfazendo a condição
(b) determinar a expressão da velocidade de oscilação (transversal) das partículas da corda e o seu valor máximo.
Passo 2
Qual a forma genérica de uma onda transversal que se propaga para
? Uma forma muito usada é
onde:
-
é a amplitude (máxima deflexão) em metros; -
é o número de onda, medido em radianos por metro, e relaciona-se com o comprimento de onda por ; -
é a frequência angular, em rad/s, relacionada com a frequência por ; -
é a fase inicial (ângulo em radianos) que ajusta a posição da onda em ; - o sinal
indica propagação no sentido positivo de .
Outra relação importante é entre velocidade de propagação
,
e
:
Para uma corda tensa a velocidade de propagação também é dada por
onde
é a tensão e
a massa por unidade de comprimento. Essa última fórmula vem da equação de ondas para cordas; ela diz que quanto maior a tensão, mais rápida a onda, e quanto maior a massa por metro, mais lenta.
Passo 3
Calcular a velocidade de propagação usando a fórmula da corda:
Expliquei: coloquei
e
e calculei a raiz quadrada; o resultado é
.
Passo 4
Agora uso
para achar
:
Com
temos o número de onda
e a frequência angular
:
Passo 5
Agora impomos a condição inicial
. Na forma geral
, logo
As soluções são
com
inteiro. Podemos escolher a fase mais simples
(isso produz uma onda que passa por zero em
com a forma padrão). Observação: escolher
também satisfaria a condição, só trocaria o sinal da função, mas ambas representam ondas válidas; escolho
por simplicidade.
Substituindo todos os valores em
com
,
,
e
, obtemos a equação da onda:
Passo 6
Agora vamos achar a velocidade de oscilação (transversal) das partículas da corda. Isso é a derivada parcial de
em relação ao tempo
, porque cada partícula em posição
tem deslocamento
que varia com
. Calculemos:
Tomando a derivada de
em relação a
:
Portanto
Substituindo os valores numéricos e
:
Passo 7
Qual é o valor máximo da velocidade transversal? A função
varia entre
e
, então o módulo máximo de
é
Calculando numericamente:
Interpretação física rápida: esse número é a maior velocidade instantânea que qualquer partícula da corda atinge enquanto oscila — parece grande, mas faz sentido porque a frequência é alta (
) e a amplitude é relativamente grande (
).