A equação y=\sin (x-t) descreve uma onda transversal que se propaga em um meio; todas as grandezas estão expressas no sistema Internacional de medidas.
a) determine o comprimento de onda, a velocidade de propagação a freqüência desta onda.
b)calcule as velocidades máxima e mínima com que os pontos do meio vibram com a passagem da onda.
c) Qual a equação de uma onda superposta a original resultaria em una amplitude nula( interferência destrutiva?

Passo 1

O enunciado dá a equação da onda
y=\sin(x-t),
com todas as grandezas no Sistema Internacional. O que é pedido:
  • (a) determinar o comprimento de onda, a velocidade de propagação e a frequência da onda;
  • (b) calcular as velocidades máxima e mínima com que os pontos do meio vibram quando a onda passa;
  • (c) escrever a equação de uma onda que, ao se superpor à original, produza amplitude nula (interferência destrutiva).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função de onda fornecida é y=\sin(x-t).
  • Todas as unidades são do SI.
  • Não há amplitude explícita multiplicando o seno, portanto a amplitude é 1 (unidade de deslocamento).
  • A forma é esperada ser comparada com a forma padrão de uma onda harmônica unidimensional (ver próximo passo).

Passo 2

Identificar parâmetros comparando com a forma padrão. A forma geral de uma onda harmônica que se propaga para a direita é
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (valor máximo do deslocamento);
  • k é o número de onda em \mathrm{rad/m} (relaciona-se ao comprimento de onda);
  • \omega é a frequência angular em \mathrm{rad/s} (relaciona-se à frequência temporal);
  • \varphi é a fase inicial (em radianos).
Comparando y=\sin(x-t) com a forma padrão, obtemos diretamente:
A=1,\qquad k=1\\ (\mathrm{rad/m}),\qquad \omega=1\\ (\mathrm{rad/s}),\qquad \varphi=0.
Agora as fórmulas que vamos usar:
  • comprimento de onda \lambda: \displaystyle \lambda=\frac{2\pi}{k}. Aqui k tem dimensão \mathrm{rad/m}, então \lambda ficará em metros.
  • frequência (ciclos por segundo) f: \displaystyle f=\frac{\omega}{2\pi}.
  • velocidade de propagação v: \displaystyle v=\frac{\omega}{k} (equivalente a v=\lambda f).

Passo 3

Calcular (a) comprimento de onda, frequência e velocidade usando os valores de k e \omega identificados.
Comprimento de onda:
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{1}=2\pi\\ \mathrm{m}.
Frequência:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\\ \mathrm{Hz}.
Velocidade de propagação:
v=\frac{\omega}{k}=\frac{1}{1}=1\\ \mathrm{m/s}.
Pequena intuição: a onda avança uma distância \lambda=2\pi metros em um período T=1/f=2\pi segundos, logo a velocidade é 2\pi/(2\pi)=1\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Resolver (b): velocidades máximas e mínimas com que os pontos do meio vibram.
A velocidade instantânea de um ponto do meio (velocidade transversal) é a derivada parcial do deslocamento em relação ao tempo, mantendo x fixo:
v_y(x,t)=\frac{\partial y}{\partial t}.
Calculemos explicitamente. Seja u=x-t. Então y=\sin(u) e \dfrac{du}{dt}=-1. Portanto
\frac{\partial y}{\partial t}=\cos(u)\cdot\frac{du}{dt}=\cos(x-t)\cdot(-1)=-\cos(x-t).
Observações:
  • A função \cos(x-t) varia entre -1 e 1. Assim v_y(x,t)=-\cos(x-t) varia entre -1 e 1.
  • A máxima velocidade positiva é 1\\ \mathrm{m/s} e a mínima (mais negativa) é -1\\ \mathrm{m/s}.
  • Em linguagem geral, para uma onda y=A\sin(kx-\omega t+\varphi), temos v_y=-A\omega\cos(kx-\omega t+\varphi) e o módulo da velocidade máxima é A\omega. Aqui A=1 e \omega=1, então v_{\max}=1.

Passo 5

Resolver (c): que onda superposta anula completamente a original (interferência destrutiva total para todos x,t)?
Para aniquilar identicamente a onda original em todos os pontos e instantes, a segunda onda y_2(x,t) deve ser exatamente o negativo da primeira para todo x,t:
y_2(x,t)=-y(x,t)=-\sin(x-t).
Isso corresponde a ter mesma amplitude, mesmo k e mesmo \omega, mas defasada em \pi radianos. Outra forma equivalente de escrever a mesma onda é
y_2(x,t)=\sin(x-t+\pi),
pois \sin(\theta+\pi)=-\sin\theta.
Também existem equivalentes espaciais ou temporais: deslocar a onda original em x por \lambda/2 ou em t por T/2 produz a mesma inversão de fase; por exemplo
y_2(x,t)=\sin\!\bigl(x-\bigl(t+\tfrac{T}{2}\bigr)\bigr)
com T=2\pi (aqui T=2\pi s), ou
y_2(x,t)=\sin\!\bigl((x+\tfrac{\lambda}{2})-t\bigr)
com \lambda=2\pi, também produzem soma nula. Mas a forma mais direta e simples é y_2=-\sin(x-t).

Resposta

(a) \lambda=2\pi\\ \mathrm{m},\quad v=1\\ \mathrm{m/s},\quad f=\dfrac{1}{2\pi}\\ \mathrm{Hz}.
(b) A velocidade instantânea é \dfrac{\partial y}{\partial t}=-\cos(x-t). Velocidade máxima 1\\ \mathrm{m/s} e mínima -1\\ \mathrm{m/s}.
(c) Uma onda que produz interferência destrutiva completa é \;y_2(x,t)=-\sin(x-t)\; (equivalente a \;y_2(x,t)=\sin(x-t+\pi)\;).

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