A equação
descreve uma onda transversal que se propaga em um meio; todas as grandezas estão expressas no sistema Internacional de medidas.
a) determine o comprimento de onda, a velocidade de propagação a freqüência desta onda.
b)calcule as velocidades máxima e mínima com que os pontos do meio vibram com a passagem da onda.
c) Qual a equação de uma onda superposta a original resultaria em una amplitude nula( interferência destrutiva?
a) determine o comprimento de onda, a velocidade de propagação a freqüência desta onda.
b)calcule as velocidades máxima e mínima com que os pontos do meio vibram com a passagem da onda.
c) Qual a equação de uma onda superposta a original resultaria em una amplitude nula( interferência destrutiva?
Passo 1
O enunciado dá a equação da onda
com todas as grandezas no Sistema Internacional. O que é pedido:
- (a) determinar o comprimento de onda, a velocidade de propagação e a frequência da onda;
- (b) calcular as velocidades máxima e mínima com que os pontos do meio vibram quando a onda passa;
- (c) escrever a equação de uma onda que, ao se superpor à original, produza amplitude nula (interferência destrutiva).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função de onda fornecida é
. - Todas as unidades são do SI.
- Não há amplitude explícita multiplicando o seno, portanto a amplitude é
(unidade de deslocamento). - A forma é esperada ser comparada com a forma padrão de uma onda harmônica unidimensional (ver próximo passo).
Passo 2
Identificar parâmetros comparando com a forma padrão. A forma geral de uma onda harmônica que se propaga para a direita é
onde:
-
é a amplitude (valor máximo do deslocamento); -
é o número de onda em (relaciona-se ao comprimento de onda); -
é a frequência angular em (relaciona-se à frequência temporal); -
é a fase inicial (em radianos).
Comparando
com a forma padrão, obtemos diretamente:
Agora as fórmulas que vamos usar:
- comprimento de onda
: . Aqui tem dimensão , então ficará em metros. - frequência (ciclos por segundo)
: . - velocidade de propagação
: (equivalente a ).
Passo 3
Calcular (a) comprimento de onda, frequência e velocidade usando os valores de
e
identificados.
Comprimento de onda:
Frequência:
Velocidade de propagação:
Pequena intuição: a onda avança uma distância
metros em um período
segundos, logo a velocidade é
.
Passo 4
Resolver (b): velocidades máximas e mínimas com que os pontos do meio vibram.
A velocidade instantânea de um ponto do meio (velocidade transversal) é a derivada parcial do deslocamento em relação ao tempo, mantendo
fixo:
Calculemos explicitamente. Seja
. Então
e
. Portanto
Observações:
- A função
varia entre e . Assim varia entre e . - A máxima velocidade positiva é
e a mínima (mais negativa) é . - Em linguagem geral, para uma onda
, temos e o módulo da velocidade máxima é . Aqui e , então .
Passo 5
Resolver (c): que onda superposta anula completamente a original (interferência destrutiva total para todos
)?
Para aniquilar identicamente a onda original em todos os pontos e instantes, a segunda onda
deve ser exatamente o negativo da primeira para todo
:
Isso corresponde a ter mesma amplitude, mesmo
e mesmo
, mas defasada em
radianos. Outra forma equivalente de escrever a mesma onda é
pois
.
Também existem equivalentes espaciais ou temporais: deslocar a onda original em
por
ou em
por
produz a mesma inversão de fase; por exemplo
com
(aqui
s), ou
com
, também produzem soma nula. Mas a forma mais direta e simples é
.
Resposta
(a)
(b) A velocidade instantânea é
. Velocidade máxima
e mínima
(c) Uma onda que produz interferência destrutiva completa é
(equivalente a
).