Uma corda com densidade linear de massa igual 1,01 kg / m é esticada com uma força de 1,69 times 10^3 N.
Determine a potência média necessária para manter, nessa corda, uma oscilação de amplitude de 1,01 times 10^-1 m e comprimento de onda de 3,40 times 10^0 m.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma corda com uma certa densidade de massa, esticada com uma força específica. Queremos descobrir quanta potência média é necessária pra manter uma oscilação com uma amplitude e comprimento de onda dados. Vamos precisar usar conceitos de ondas em cordas, como velocidade da onda, frequência, e a fórmula da potência em ondas. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a velocidade da onda na corda. A velocidade $ v $ de uma onda em uma corda é dada pela fórmula:
v
onde:
  • $ T $ é a tensão na corda (força aplicada),
  • $ \mu $ é a densidade linear de massa da corda.

Passo 3

Vamos calcular a velocidade da onda usando os valores que temos:
T = 1,69 times 10^3 , N
mu = 1,01 , kg/m
Substituindo na fórmula:
v = raiz1,69 times 10^31,01 approx raiz1673,267 approx 40,89 , m/s

Passo 4

Agora, vamos determinar a frequência $ f $ da onda. A frequência está relacionada com a velocidade da onda e o comprimento de onda $ \lambda $ pela fórmula:
f
Dado que:
lambda
Substituindo:
f = vlambda

Passo 5

Com a frequência, podemos encontrar a frequência angular $ \omega $:
omega
omega = 2pi f

Passo 6

Agora, vamos usar a fórmula da potência média $ P $ de uma onda em uma corda:
P
onde:
  • $ A $ é a amplitude da oscilação.

Passo 7

Substituindo os valores que temos:
mu = 1,01 , kg/m
omega = 75,56 , rad/s
A = 1,01 times 10^-1 , m = 0,101 , m
v = 40,89 , m/s
Calculando passo a passo:
omega^2 = (75,56)^2 approx 5700,13 , rad^2/s^2
A^2 = (0,101)^2 approx 0,010201 , m^2
P = 12 times 1,01 times 5700,13 times 0,010201 times 40,89

Passo 8

Vamos multiplicar tudo:
P = 0,5 times 1,01 approx 0,505
0,505 times 5700,13 approx 2878,57
2878,57 times 0,010201 approx 29,35
29,35 times 40,89 approx 1200 , W

Resposta

A potência média necessária para manter a oscilação na corda é de aproximadamente 1.200 watts.

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