Você observa o movimento linear de uma partícula a partir do ponto onde ela cruza a origem do eixo x, com velocidade vx=50 m / s. Nos primeiros 4 segundos ela não muda sua velocidade e, de repente, passa a desacelerar constantemente com uma taxa de 10 m / s^2. Com estas informações, encontre a velocidade e a localização da partícula nos instantes t=8 s e t=12 s. Além disso, localize a distância máxima que ela se desloca a partir da origem durante este intervalo de tempo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula que começa no ponto de origem do eixo com uma velocidade inicial . Nos primeiros 4 segundos, ela mantém essa velocidade constante. Depois disso, ela começa a desacelerar de forma constante com uma aceleração de (o sinal negativo indica desaceleração). Precisamos encontrar:
  1. A velocidade e a posição da partícula nos instantes e .
  2. A distância máxima que a partícula alcança a partir da origem durante esse intervalo de tempo.
Para resolver, vamos dividir o movimento em duas partes: antes e depois dos 4 segundos.

Passo 2

Primeira fase (0 a 4 segundos): Movimento com velocidade constante
Como a velocidade é constante ( x(t) = x0 + v cdot t ), a posição é dada por:
x(t) = 50 cdot t
Como a partícula parte da origem ( v(t) = 50 , m/s ):
A velocidade permanece:

Passo 3

Segunda fase (a partir de 4 segundos): Movimento com desaceleração
A partir de v(t) = v0 + a cdot (t - t0) , a partícula começa a desacelerar com x(t) = x0 + v0 cdot (t - t0) + 12 a cdot (t - t0)^2 . Para essa fase, podemos usar as equações do movimento uniformemente variado (MUV):
A velocidade no tempo é:
Onde:
  • (velocidade no início da desaceleração)
  • (tempo em que começa a desacelerar)
A posição no tempo é:
Onde é a posição no final dos primeiros 4 segundos.

Passo 4

Calculando a posição no final dos primeiros 4 segundos ( x(4) = 50 cdot 4 = 200 , m )
Usando a equação da posição na velocidade constante:
Então, para a segunda fase.

Passo 5

Calculando a velocidade e a posição em De
Primeiro, determinamos se v(8) = 50 + (-10) cdot 4 = 50 - 40 = 10 , m/s está na primeira ou segunda fase. Como x(8) = 200 + 50 cdot 4 + 12 cdot (-10) cdot (4)^2 , está na segunda fase.
Tempo decorrido na segunda fase:
x(8) = 200 + 200 - 80 = 320 , m
Velocidade:
Posição:

Passo 6

Calculando a velocidade e a posição em De
Mais uma vez, v(12) = 50 + (-10) cdot 8 = 50 - 80 = -30 , m/s está na segunda fase.
Tempo decorrido na segunda fase:
x(12) = 200 + 50 cdot 8 + 12 cdot (-10) cdot (8)^2
Velocidade:
x(12) = 200 + 400 - 320 = 280 , m
O sinal negativo indica que a partícula está voltando na direção oposta ao início.
Posição:

Passo 7

Determinar a distância máxima a partir da origem
A distância máxima ocorre no instante em que a velocidade se torna zero antes de inverter o sentido. Vamos encontrar o tempo 0 = 50 + (-10) cdot (t - 4) em que -50 = -10 cdot (t - 4) :
t - 4 = 5
t = 9 , s
De
x(9) = 200 + 50 cdot 5 + 12 cdot (-10) cdot (5)^2
Agora, calculamos a posição em x(9) = 200 + 250 - 125 = 325 , m :
Então, a distância máxima a partir da origem é no instante de .

Resposta

Nos instantes e :
  • Em :
    • Velocidade:
    • Posição:
  • Em :
    • Velocidade:
    • Posição:
A distância máxima que a partícula alcança a partir da origem é 325 metros, ocorrendo no instante de 9 segundos.

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