Uma corda é enrolada em torno de um cilindro maciço e uniforme, de massa M e raio R. Esse cilindro tem liberdade para rotacionar em torno de um eixo que passa pelo seu centro, ao longo da altura. Quando a corda é puxada com uma força de módulo F, tangente ao cilindro, o mesmo adquire uma aceleração angular
. Se o raio do cilindro é duplicado, mantendo a massa e a força iguais, a nova aceleração angular será
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conceitos envolvidos.
Enunciado Resumido: Temos um cilindro maciço e uniforme de massa $ M $ e raio $ R $. Uma corda está enrolada ao redor desse cilindro, e ao puxar a corda com uma força $ F $ tangente ao cilindro, ele começa a girar com uma aceleração angular $ \alpha $. Se duplicarmos o raio do cilindro, mantendo a massa e a força constantes, qual será a nova aceleração angular?
Conteúdo da Matéria: O problema envolve conceitos de torque, momento de inércia e aceleração angular na rotação de corpos rígidos.
O que vamos precisar para resolver:
- Fórmula do torque ($ \tau $).
- Fórmula do momento de inércia ($ I $) para um cilindro maciço.
- Relação entre torque, momento de inércia e aceleração angular ($ \tau = I \alpha $).
Passo 2
Entendendo o Torque ($ \tau $):
O torque é uma medida da força que pode causar um objeto a girar em torno de um eixo. É dado pela fórmula:
onde:
- $ F $ é a força aplicada,
- $ r $ é a distância do ponto de aplicação da força até o eixo de rotação (neste caso, o raio $ R $ do cilindro).
Passo 3
Calculando o Torque Inicial ($ \tau $):
Como a força $ F $ é aplicada tangente ao cilindro, o torque inicial é:
Passo 4
Momento de Inércia ($ I $) de um Cilindro Maciço:
O momento de inércia depende de como a massa está distribuída em relação ao eixo de rotação. Para um cilindro maciço e uniforme girando em torno de seu eixo central, o momento de inércia é:
onde:
- $ M $ é a massa do cilindro,
- $ R $ é o raio do cilindro.
Passo 5
Relacionando Torque, Momento de Inércia e Aceleração Angular ($ \alpha $):
A relação fundamental que liga essas grandezas é:
Queremos encontrar a aceleração angular $ \alpha $, então reorganizamos a fórmula:
Substituindo os valores de $ \tau $ e $ I $:
Assim, a aceleração angular inicial é:
Passo 6
Duplicando o Raio do Cilindro:
Agora, vamos considerar que o raio do cilindro é duplicado, ou seja, $ R’ = 2 R $. A massa $ M $ e a força $ F $ permanecem as mesmas.
Novo Torque ($ \tau’ $):
Novo Momento de Inércia ($ I’ $):
Nova Aceleração Angular ($ \alpha’ $):
Passo 7
Comparando as Acelerações Angulares:
A aceleração angular inicial era:
A nova aceleração angular é:
Isso significa que a nova aceleração angular é a metade da aceleração inicial.
Resposta
A nova aceleração angular será $ \frac{1}{2} \alpha $.