É possível demonstrar que a probabilidade p(r) de que o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio seja detectado no interior de uma esfera de raio r é dada por p(r)=1-e^-2 x(1+2 x+2 x^2), onde x equiv r / a0. Calcule a probabilidade de que o elétron de um átomo de hidrogênio no estado fundamental seja encontrado na região entre duas cascas esféricas de raios a0 e 2 a0, em que a0 é o raio de Bohr.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata da probabilidade de encontrar um elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio dentro de uma certa região espacial. A gente vai utilizar conceitos de física quântica, especificamente a função de probabilidade do elétron no átomo de hidrogênio. Precisamos calcular a probabilidade de o elétron estar entre duas camadas esféricas com raios iguais a $ a_0 $ (raio de Bohr) e $ 2a_0 $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da probabilidade $ p® $ que foi fornecida:
p(r)
Aqui, $ x $ é definido como $ x = \frac{r}{a_0} $, onde $ r $ é o raio da esfera e $ a_0 $ é o raio de Bohr.
Essa fórmula nos dá a probabilidade de encontrar o elétron dentro de uma esfera de raio $ r $. Mas a gente precisa saber a probabilidade de encontrar o elétron entre duas esferas com raios $ a_0 $ e $ 2a_0 $.

Passo 3

Para encontrar a probabilidade de o elétron estar nessa região específica (entre $ a_0 $ e $ 2a_0 $), a gente pode calcular a diferença entre a probabilidade de estar dentro de $ 2a_0 $ e a probabilidade de estar dentro de $ a_0 $.
Matematicamente, isso fica assim:
a0

Passo 4

Vamos calcular $ p(2a_0) $. Substituindo $ r = 2a_0 $ na fórmula:
p(2a0)
Então,
r = 2a0
x = 2a0a0 = 2

Passo 5

Agora, vamos calcular $ p(a_0) $. Substituindo $ r = a_0 $ na fórmula:
p(a0)
Então,
r = a0
x = a0a0 = 1

Passo 6

Agora, vamos subtrair $ p(a_0) $ de $ p(2a_0) $ para encontrar a probabilidade desejada:
p(a0)
p(2a0)

Passo 7

Vamos calcular os valores numéricos das exponenciais:
e^-2 approx 0,1353
e^-4 approx 0,0183
Substituindo na equação:
P(a0 < r < 2a0) = -13 times 0,0183 + 5 times 0,1353
P(a0 < r < 2a0) approx -0,2379 + 0,6765

Resposta

A probabilidade de que o elétron seja encontrado na região entre os raios $ a_0 $ e $ 2a_0 $ é aproximadamente $ 0,4386 $ ou 43,86 %.

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