É possível demonstrar que a probabilidade
de que o elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio seja detectado no interior de uma esfera de raio
é dada por
, onde
. Calcule a probabilidade de que o elétron de um átomo de hidrogênio no estado fundamental seja encontrado na região entre duas cascas esféricas de raios
e
, em que
é o raio de Bohr.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata da probabilidade de encontrar um elétron no estado fundamental do átomo de hidrogênio dentro de uma certa região espacial. A gente vai utilizar conceitos de física quântica, especificamente a função de probabilidade do elétron no átomo de hidrogênio. Precisamos calcular a probabilidade de o elétron estar entre duas camadas esféricas com raios iguais a $ a_0 $ (raio de Bohr) e $ 2a_0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da probabilidade $ p® $ que foi fornecida:
Aqui, $ x $ é definido como $ x = \frac{r}{a_0} $, onde $ r $ é o raio da esfera e $ a_0 $ é o raio de Bohr.
Essa fórmula nos dá a probabilidade de encontrar o elétron dentro de uma esfera de raio $ r $. Mas a gente precisa saber a probabilidade de encontrar o elétron entre duas esferas com raios $ a_0 $ e $ 2a_0 $.
Passo 3
Para encontrar a probabilidade de o elétron estar nessa região específica (entre $ a_0 $ e $ 2a_0 $), a gente pode calcular a diferença entre a probabilidade de estar dentro de $ 2a_0 $ e a probabilidade de estar dentro de $ a_0 $.
Matematicamente, isso fica assim:
Passo 4
Vamos calcular $ p(2a_0) $. Substituindo $ r = 2a_0 $ na fórmula:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular $ p(a_0) $. Substituindo $ r = a_0 $ na fórmula:
Então,
Passo 6
Agora, vamos subtrair $ p(a_0) $ de $ p(2a_0) $ para encontrar a probabilidade desejada:
Passo 7
Vamos calcular os valores numéricos das exponenciais:
Substituindo na equação:
Resposta
A probabilidade de que o elétron seja encontrado na região entre os raios $ a_0 $ e $ 2a_0 $ é aproximadamente $ 0,4386 $ ou 43,86 %.