Um elétron é confinado em um tubo estreito, evacuado, com
de comprimento; o tubo se comporta como um poço de potencial unidimensional infinito. Para qual número quântico
a diferença entre níveis de energia vizinhos é da ordem de
? Para esse número quântico,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um elétron preso dentro de um tubo estreito de 3,0 metros, funcionando como um poço de potencial unidimensional infinito. Queremos descobrir para qual número quântico $ n $ a diferença entre níveis de energia consecutivos é de aproximadamente 1,0 eV. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre os níveis de energia em um poço quântico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão para os níveis de energia de um elétron em um poço de potencial unidimensional infinito. A fórmula é:
Aqui:
- $ E_n $ é a energia do nível $ n $.
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida ($ \hbar = \frac{h}{2\pi} $).
- $ m $ é a massa do elétron.
- $ L $ é o comprimento do poço (no caso, 3,0 m).
- $ n $ é o número quântico, que pode ser 1, 2, 3, etc.
Passo 3
A gente quer encontrar a diferença de energia entre dois níveis consecutivos, ou seja, $ \Delta E = E_{n+1} - E_n $. Vamos calcular essa diferença usando a fórmula dos níveis de energia:
Simplificando isso:
Passo 4
Sabemos que queremos que $ \Delta E $ seja aproximadamente 1,0 eV. Vamos igualar a expressão que encontramos a 1,0 eV e resolver para $ n $:
Primeiro, precisamos converter 1,0 eV para joules, já que as constantes geralmente estão em unidades SI:
Então,
Passo 5
Agora, vamos isolar $ n $. Primeiro, multiplie ambos os lados por $ \frac{2 m L2}{\pi2 \hbar^2} $:
Então,
Passo 6
Agora, vamos inserir os valores conhecidos:
- Massa do elétron, $ m = 9,109 \times 10^{-31} , kg $
- Constante de Planck reduzida, $ \hbar = 1,055 \times 10^{-34} , J \cdot s $
- Comprimento do poço, $ L = 3,0 , m $
Substituindo na equação:
Passo 7
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcule o numerador:
Depois, o denominador:
Agora, divida os dois:
Multiplique pelo valor em joules:
Agora, subtraia 1:
Por fim, divida por 2:
Resposta
O número quântico $ n $ para o qual a diferença entre níveis de energia vizinhos é da ordem de 1,0 eV é aproximadamente $ n \approx 4,0 \times 10^{19} $.