Um elétron é confinado em um tubo estreito, evacuado, com 3,0 m de comprimento; o tubo se comporta como um poço de potencial unidimensional infinito. Para qual número quântico n a diferença entre níveis de energia vizinhos é da ordem de 1,0 eV? Para esse número quântico,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um elétron preso dentro de um tubo estreito de 3,0 metros, funcionando como um poço de potencial unidimensional infinito. Queremos descobrir para qual número quântico $ n $ a diferença entre níveis de energia consecutivos é de aproximadamente 1,0 eV. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre os níveis de energia em um poço quântico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a expressão para os níveis de energia de um elétron em um poço de potencial unidimensional infinito. A fórmula é:
En = n^2 pi^2 hbar^22 m L^2
Aqui:
  • $ E_n $ é a energia do nível $ n $.
  • $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida ($ \hbar = \frac{h}{2\pi} $).
  • $ m $ é a massa do elétron.
  • $ L $ é o comprimento do poço (no caso, 3,0 m).
  • $ n $ é o número quântico, que pode ser 1, 2, 3, etc.

Passo 3

A gente quer encontrar a diferença de energia entre dois níveis consecutivos, ou seja, $ \Delta E = E_{n+1} - E_n $. Vamos calcular essa diferença usando a fórmula dos níveis de energia:
De
Simplificando isso:
De

Passo 4

Sabemos que queremos que $ \Delta E $ seja aproximadamente 1,0 eV. Vamos igualar a expressão que encontramos a 1,0 eV e resolver para $ n $:
De
Primeiro, precisamos converter 1,0 eV para joules, já que as constantes geralmente estão em unidades SI:
n
Então,
(2n + 1) pi^2 hbar^22 m L^2 = 1,0 , eV

Passo 5

Agora, vamos isolar $ n $. Primeiro, multiplie ambos os lados por $ \frac{2 m L2}{\pi2 \hbar^2} $:
n
Então,
2 m L^2pi^2 hbar^2

Passo 6

Agora, vamos inserir os valores conhecidos:
  • Massa do elétron, $ m = 9,109 \times 10^{-31} , kg $
  • Constante de Planck reduzida, $ \hbar = 1,055 \times 10^{-34} , J \cdot s $
  • Comprimento do poço, $ L = 3,0 , m $
Substituindo na equação:
m = 9,109 times 10^-31 , kg

Passo 7

Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, calcule o numerador:
2 times 9,109 times 10^-31 times 9 = 1,63962 times 10^-29 , kg cdot m^2
Depois, o denominador:
pi^2 times (1,055 times 10^-34)^2 approx 3,2899 times 10^-68 , J^2 cdot s^2
Agora, divida os dois:
1,63962 times 10^-293,2899 times 10^-68 approx 4,984 times 10^38 , kg cdot m^2 / J^2 cdot s^2
Multiplique pelo valor em joules:
4,984 times 10^38 times 1,602 times 10^-19 approx 7,983 times 10^19
Agora, subtraia 1:
7,983 times 10^19 - 1 approx 7,983 times 10^19
Por fim, divida por 2:
n approx 7,983 times 10^192 approx 3,992 times 10^19

Resposta

O número quântico $ n $ para o qual a diferença entre níveis de energia vizinhos é da ordem de 1,0 eV é aproximadamente $ n \approx 4,0 \times 10^{19} $.

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